[论文解读] On F-crystalline representations

Bryden Cais, Tong Liu|arXiv (Cornell University)|Feb 5, 2015

Advanced Algebra and Geometry被引用 4

一句话总结

本文将基域 $F/\mathbb{Q}_p$ 任意有限扩张及一般幂级数 $f(u)$ 下的 Kisin 晶体表示理论与 Kisin 模推广，构造了一类新的无限、完全异常分歧扩张 $K_\infty/K$，使得限制函子 $V \mapsto V|_{G_{K_\infty}}$ 在 $F$-晶状表示上是完全忠实的。本文建立了通过高度 1 的广义 Frobenius 提升 Kisin 模对 $F$-Barsotti-Tate 群的分类。

ABSTRACT

We extend the theory of Kisin modules and crystalline representations to allow more general coefficient fields and lifts of Frobenius. In particular, for a finite and totally ramified extension $F/\mathbb Q_p$, and an arbitrary finite extension $K/F$, we construct a general class of infinite and totally wildly ramified extensions $K_\infty/K$ so that the functor $V\mapsto V|_{G_{K_\infty}}$ is fully-faithfull on the category of $F$-crystalline representations $V$. We also establish a new classification of $F$-Barsotti-Tate groups via Kisin modules of height 1 which allows more general lifts of Frobenius.

研究动机与目标

• 将 Kisin 关于 $\mathbb{Z}_p$-格在半稳定表示中的理论推广至任意有限扩张 $F/\mathbb{Q}_p$ 下的 $F$-晶状表示。
• 通过由幂级数 $f(u)$ 定义的 Frobenius 迭代系统 $\{\pi_n\}$，构造一类新的无限、完全异常分歧扩张 $K_\infty/K$，替代经典的由 $p^n$ 次单位根生成的 $K_\infty$。
• 在 $F$-晶状表示范畴上建立完全忠实的限制函子 $V \mapsto V|_{G_{K_\infty}}$，其 Hodge-Tate 权重属于 $\{0,\dots,r\}$。
• 通过高度 1 的具有广义 Frobenius 结构的 Kisin 模，对 $\mathcal{O}_K$ 上的 $F$-Barsotti-Tate 群进行分类。
• 为将 $(\varphi, \hat{G})$-模理论与 Breuil 理论推广至更一般的系数域和 Frobenius 提升奠定基础工具。

提出的方法

• 在 $\mathfrak{S}_F = \mathcal{O}_F[[u]]$ 上定义广义 Frobenius 自同态 $\varphi$，其在 $W(k)$ 上作用为 $q$ 次 Frobenius，在 $\mathcal{O}_F$ 上平凡作用，并将 $u$ 映射至 $f(u)$，其中 $f(u) \equiv u^q \mod \mathfrak{m}_F$。
• 通过满足 $f(\pi_n) = \pi_{n-1}$ 的相容系统 $\{\pi_n\}$ 构造扩张 $K_{\underline{\pi}} = \bigcup_n K(\pi_n)$，形成非伽罗瓦的、完全异常分歧的扩张。
• 将 $E(u)$-高度 $r$ 的 Kisin 模定义为有限自由 $\mathfrak{S}_F$-模 $\mathfrak{M}$，配备一个 $\varphi$-半线性自同态 $\varphi_\mathfrak{M}$，其线性化后的余核被 $E(u)^r$ 所消去。
• 利用函子 $T_{\mathfrak{S}}(\mathfrak{M})$ 将 Kisin 模与 $F$-晶状表示中的 $\mathcal{O}_F$-格联系起来，推广 Kisin 的构造。
• 通过构造 $\mathfrak{S}_F$-线性同构 $T_{\mathfrak{S}}(\mathfrak{M}) \simeq T$，证明对 $G_{K_\infty}$-稳定格 $T \subset V$，映射 $V \mapsto \mathfrak{M}$ 是完全忠实的。
• 猜想：在基变换至 $W(R)_F$ 后，不同 $f(u)$ 对应的 Kisin 模将同构，推广经典情形下的比较结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 Kisin 关于 $\mathbb{Z}_p$-格在半稳定表示中的理论能否推广至任意有限扩张 $F/\mathbb{Q}_p$ 下的 $F$-晶状表示？
• RQ2 当 $K_\infty$ 由一般幂级数 $f(u)$ 而非 $u^p$ 构造时，限制函子 $V \mapsto V|_{G_{K_\infty}}$ 在 $F$-晶状表示上是否仍保持完全忠实？
• RQ3 当 Frobenius 结构推广至经典情形之外时，能否通过高度 1 的 Kisin 模对 $F$-Barsotti-Tate 群进行分类？
• RQ4 当 $F$ 和 $\pi$ 固定时，不同 $f(u)$ 对应的 Kisin 模之间有何关系？
• RQ5 Kisin 模的挠理论能否推广至此广义情形？能否恢复潜在晶状表示的约化已知结果？

主要发现

• 限制函子 $V \mapsto V|_{G_{K_\infty}}$ 在 Hodge-Tate 权重属于 $\{0,\dots,r\}$ 的 $F$-晶状表示范畴上是完全忠实的，推广了 Kisin 的经典结果。
• 对任意具有 $G_{K_\infty}$-稳定 $\mathcal{O}_F$-格 $T$ 的 $F$-晶状表示 $V$，存在一个 $E(u)$-高度 $r$ 的 Kisin 模 $\mathfrak{M}$，使得 $T_{\mathfrak{S}}(\mathfrak{M}) \simeq T$，将 Kisin 的构造推广至一般 $F$ 和 $f(u)$。
• $\mathcal{O}_K$ 上的 $F$-Barsotti-Tate 群范畴与具有广义 Frobenius 结构的 $\mathfrak{S}_F$ 上高度 1 Kisin 模范畴之间存在反等价。
• 该构造恢复了已知情形：当 $f(u) = u^p$ 时，退化为 Kisin 的理论；当 $v_F(a_1) = 1$ 时，包含 Kisin-Ren 的 Lubin-Tate 情形。
• 本文猜想：在基变换至 $W(R)_F$ 后，不同 $f(u)$ 对应的 Kisin 模将同构，暗示存在一个普遍的比较同构。
• 该理论为推广 Breuil 对半稳定表示与挠 Kisin 模的分类提供了框架，但对一般 $f(u)$，单值算子仍为开放问题。