[论文解读] On f-harmonic morphisms between Riemannian manifolds

Ye‐Lin Ou|arXiv (Cornell University)|Mar 29, 2011

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 20被引用 4

一句话总结

本文引入并表征了$f$-调和丛射——即从黎曼流形到黎曼流形的映射，其将局部调和函数拉回到局部$f$-调和函数。本文证明此类映射恰好是水平弱共形的$f$-调和映射，推广了调和丛射的Fuglede-Ishihara定理，并提供了例子、非存在性结果，以及与共形几何和自旋系统的关系。

ABSTRACT

f-Harmonic maps were first introduced and studied by Lichnerowicz in \cite{Li} (see also Section 10.20 in Eells-Lemaire's report \cite{EL}). In this paper, we study a subclass of f-harmonic maps called f-harmonic morphisms which pull back local harmonic functions to local f-harmonic functions. We prove that a map between Riemannian manifolds is an f-harmonic morphism if and only if it is a horizontally weakly conformal f-harmonic map. This generalizes the well-known Fuglede-Ishihara characterization for harmonic morphisms. Some properties and many examples as well as some non-existence of f-harmonic morphisms are given. We also study the f-harmonicity of conformal immersions.

研究动机与目标

• 定义并研究$f$-调和丛射，作为黎曼几何中调和丛射的推广。
• 以水平弱共形性和$f$-调和性为条件，建立$f$-调和丛射的表征。
• 探讨此类映射的存在性与非存在性，尤其在紧致和对称空间上。
• 将$f$-调和丛射与物理模型（如非均匀海森堡铁磁体）相联系。
• 厘清$f$-调和丛射与其他相关概念（如$h$-调和丛射）之间的区别。

提出的方法

• 通过$f$-能量泛函$E_f(\phi) = \frac{1}{2}\int_\Omega f|d\phi|^2 dv_g$的临界点来定义$f$-调和映射。
• 将$f$-调和丛射定义为在$f$-语境下保持调和性的映射：将局部调和函数拉回到局部$f$-调和函数。
• 证明一个映射是$f$-调和丛射当且仅当它是水平弱共形且$f$-调和的，推广了Fuglede-Ishihara定理。
• 使用张力场方程$\tau_f(\phi) = f\tau(\phi) + d\phi(\text{grad}\,f) = 0$作为$f$-调和映射的定义方程。
• 分析度量的共形变换：证明$\phi:(M,g)\to(N,h)$是$f$-调和映射当且仅当$\phi:(M,f^{2/(m-2)}g)\to(N,h)$是调和映射。
• 应用曲率与纤维丛理论证明非存在性结果，尤其在紧致、正曲率流形（如$S^{2n+1}$）上。

实验结果

研究问题

• RQ1 在黎曼流形之间的光滑映射中，$f$-调和丛射的特征是什么？
• RQ2 $f$-调和丛射与调和丛射及$p$-调和映射有何关系？
• RQ3 在何种几何条件下$f$-调和丛射存在或不存在？
• RQ4 $f$-调和丛射是否可能存在于紧致、正曲率流形（如$S^{2n+1}$）上，且$f$非常数？
• RQ5 $f$-调和丛射的物理与几何意义是什么，尤其在自旋系统与共形几何中的关联？

主要发现

• 一个$f$-调和丛射被表征为水平弱共形的$f$-调和映射，推广了经典的Fuglede-Ishihara定理。
• 任意无临界点的$F$-调和映射都是$f$-调和映射，其中$f = F'(\frac{|d\phi|^2}{2})$，从而建立了$F$-调和映射与$f$-调和映射之间的联系。
• 一个多项式映射$\phi:\mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^n$是$f$-调和丛射当且仅当它是调和丛射且$f$具有垂直梯度。
• 在具有最小纤维的紧致、非负曲率流形上，黎曼纤维丛是$f$-调和丛射当且仅当$f$为常数。
• 在$S^{2n+1}$上不存在非平凡正函数$f$，使得霍普夫纤维丛是$f$-调和丛射。
• 对于具有标准度量的$S^3$，不存在具有非常数$f$和非零水平曲率的子丛$f$-调和丛射，此结论通过共形变形论证得出。