[论文解读] On Factorizable S-matrices, Generalized TTbar, and the Hagedorn Transition

Giancarlo Camilo, Thiago Fleury+3 more|arXiv (Cornell University)|Jun 22, 2021

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 48被引用 31

一句话总结

本文研究了广义 TTbar 算符变形的可积 2D 量子场论的热力学贝特 ansatz（TBA），重点关注带有 CDD 因子的可分解 S 矩阵。通过伪弧长延拓法，识别出有限尺寸基态能量 E(R) 的两条解分支，其在 R∗ 处出现平方根分支点，标志 Hagedorn 类行为——高能态的指数增长，这与标准局域 QFT 不兼容，但却是弦理论的典型特征。即使在两体散射相位在高能区增长缓慢的情况下，Hagedorn 转变依然存在，表明这种行为源于 S 矩阵形变的结构，而不仅仅依赖于相位的增长。

ABSTRACT

We study solutions of the Thermodynamic Bethe Ansatz equations for relativistic theories defined by the factorizable $S$-matrix of an integrable QFT deformed by CDD factors. Such $S$-matrices appear under generalized TTbar deformations of integrable QFT by special irrelevant operators. The TBA equations, of course, determine the ground state energy $E(R)$ of the finite-size system, with the spatial coordinate compactified on a circle of circumference $R$. We limit attention to theories involving just one kind of stable particles, and consider deformations of the trivial (free fermion or boson) $S$-matrix by CDD factors with two elementary poles and regular high energy asymptotics -- the "2CDD model". We find that for all values of the parameters (positions of the CDD poles) the TBA equations exhibit two real solutions at $R$ greater than a certain parameter-dependent value $R_*$, which we refer to as the primary and secondary branches. The primary branch is identified with the standard iterative solution, while the secondary one is unstable against iterations and needs to be accessed through an alternative numerical method known as pseudo-arc-length continuation. The two branches merge at the "turning point" $R_*$ (a square-root branching point). The singularity signals a Hagedorn behavior of the density of high energy states of the deformed theories, a feature incompatible with the Wilsonian notion of a local QFT originating from a UV fixed point, but typical for string theories. This behavior of $E(R)$ is qualitatively the same as the one for standard TTbar deformations of local QFT.

研究动机与目标

• 理解广义 TTbar 变形可积 QFT 的紫外结构，特别是 Hagedorn 类行为的出现。
• 分析带有两个极点和高能极限正则的 CDD 因子变形的可分解 S 矩阵的热力学贝特 ansatz（TBA）方程。
• 识别并表征 TBA 方程的两条不同解分支，特别是不稳定的次级分支，并定位转折点 R∗。
• 确定 Hagedorn 行为是否依赖于散射相位在高能区的快速增长，还是更普遍地源于 S 矩阵结构。
• 证明即使两体散射相位在高能区有有限极限，Hagedorn 奇点依然存在，挑战了相位增长是必要条件的假设。

提出的方法

• 求解 2CDD 模型的 TBA 方程——自由费米子/玻色子 S 矩阵经带有两个极点和高能渐近正则性的 CDD 因子变形。
• 使用迭代方法计算 TBA 方程在圆周长为 R 的有限尺寸基态能量 E(R) 的主解分支。
• 应用伪弧长延拓（PALC）方法，以访问标准迭代法无法达到的不稳定的次级 TBA 解分支。
• 采用预测-校正算法，结合牛顿型迭代，使用雅可比矩阵的 Moore-Penrose（广义）逆来处理转折点 R∗ 处的奇点。
• 使用恒定格点步长 ∆θ 和带有复极点的 2CDD 核函数 ϕ(θ)，数值求解离散化的 TBA 积分方程。
• 分析 E(R) 在大 R 区域的渐近行为，并通过拟合数据提取 Hagedorn 温度和态密度的指数增长速率。

实验结果

研究问题

• RQ1 广义 TTbar 变形 QFT 中的 Hagedorn 转变是否需要两体散射相位在高能区快速增长？
• RQ2 当散射相位在高能区有有限极限时，有限尺寸基态能量 E(R) 中的 Hagedorn 奇点是否仍可出现？
• RQ3 次级不稳定 TBA 解分支在 Hagedorn 行为出现过程中起什么作用？
• RQ4 伪弧长延拓方法如何实现对次级 TBA 分支的访问？转折点 R∗ 的意义是什么？
• RQ5 这些模型中的 Hagedorn 行为是否是 CDD 变形可积 QFT 的普遍特征，与散射相位的具体形式无关？

主要发现

• 2CDD 模型的 TBA 方程在 R > R∗ 时表现出两条实解分支：一条稳定主分支和一条不稳定的次级分支，二者在平方根分支点 R∗ 处汇合。
• 次级分支无法通过标准迭代 TBA 方法获得，但可通过结合预测-校正算法与 Moore-Penrose 逆的伪弧长延拓（PALC）方法实现。
• R∗ 处的奇点标志高能态密度的 Hagedorn 类行为，表现为态数的指数增长，这与标准局域 QFT 不兼容，但却是弦理论的典型特征。
• 即使在费米子和玻色子 2CDD 模型中，散射相位的高能极限为有限值，Hagedorn 奇点依然存在，表明相位的快速增长并非 Hagedorn 行为的必要条件。
• 两条分支上 E(R) 的大 R 渐近行为均遵循统一形式，包含 Hagedorn 温度 T_H，且态密度的指数增长速率与 Hagedorn 转变一致。
• 2CDD 模型的窄共振极限恢复了标准 TTbar 变形，确认与已知结果一致，并验证了数值框架的正确性。