[论文解读] On factorizations of maps between curves

Dijana Kreso, Michael E. Zieve|arXiv (Cornell University)|May 19, 2014

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 18被引用 5

一句话总结

本论文证明，对于其单值群包含一个可迁阿贝尔（或更一般地，可迁戴德金或拟哈密顿）子群的曲线覆盖，其任何完全分解中不可约因子的次数、单值群和自同构群均唯一确定（至多置换）。该结果推广了黎特关于多项式因式分解的古典结果，并适用于多项式、同源映射、拉蒂斯映射以及其他算术-几何覆盖。

ABSTRACT

We examine the different ways of writing a cover of curves $ϕ\colon C o D$ over a field $K$ as a composition $ϕ=ϕ_n\circϕ_{n-1}\circ\dots\circϕ_1$, where each $ϕ_i$ is a cover of curves over $K$ of degree at least $2$ which cannot be written as the composition of two lower-degree covers. We show that if the monodromy group $ extrm{Mon}(ϕ)$ has a transitive abelian subgroup then the sequence $(\degϕ_i)_{1\le i\le n}$ is uniquely determined up to permutation by $ϕ$, so in particular the length $n$ is uniquely determined. We prove analogous conclusions for the sequences $( extrm{Mon}(ϕ_i))_{1\le i\le n}$ and $( extrm{Aut}(ϕ_i))_{1\le i\le n}$. Such a transitive abelian subgroup exists in particular when $ϕ$ is tamely and totally ramified over some point in $D(\overline{K})$, and also when $ϕ$ is a morphism of one-dimensional algebraic groups (or a coordinate projection of such a morphism). Thus, for example, our results apply to decompositions of polynomials of degree not divisible by $ extrm{char}(K)$, additive polynomials, elliptic curve isogenies, and Lattès maps.

研究动机与目标

• 确定曲线覆盖的不可约覆盖分解在何种条件下唯一确定（至多置换）。
• 将黎特关于多项式因式分解的古典结果推广至更广泛的曲线覆盖类别。
• 刻画在单值群条件下，覆盖复合中自同构群的结构。
• 证明在戴德金单值群条件下，不可约因子的自同构群序列整除完整覆盖的自同构群。
• 识别出自然的覆盖类别（例如多项式、同源映射、拉蒂斯映射），使得这些唯一性结果成立。

提出的方法

• 使用单值群理论分析曲线覆盖的结构，重点关注可迁阿贝尔或戴德金子群。
• 应用群论工具：拟哈密顿群与戴德金群、正规化子及单值群中的子群格。
• 在戴德金单值群条件下，对复合 ψ = θ∘ρ 建立从 Aut(ψ) 到 Aut(θ) 的同态，其核为 Aut(ρ)。
• 利用域扩张与覆盖之间的伽罗瓦理论对应，将群论性质转化为几何性质。
• 利用纤维积分解和映射图上的自同构群作用，证明因式分解分量的唯一性。
• 通过归纳群链论证，证明当 Mon(φ) 包含可迁戴德金子群时，|Aut(φ)| 整除 ∏|Aut(φ_i)|。

实验结果

研究问题

• RQ1 当曲线覆盖 φ: C → D 的单值群满足何种条件时，其不可约因子的次数序列在至多置换的意义下唯一确定？
• RQ2 在 φ 的完全分解中，不可约因子的单值群序列在至多同构与置换的意义下何时唯一确定？
• RQ3 复合覆盖 φ = φ_n ∘ … ∘ φ_1 的自同构群是否整除各因子自同构群的乘积？在何种单值群条件下成立？
• RQ4 哪些自然的覆盖类别（例如多项式、同源映射、拉蒂斯映射）满足因式分解序列的唯一性条件？
• RQ5 为何对有理函数 f，|Aut(f)| 整除 ∏|Aut(f_i)| 的猜想在某些情况下成立而在其他情况下不成立？其背后的群论条件是什么？

主要发现

• 若覆盖 φ 的单值群包含一个可迁阿贝尔子群，则其任何完全分解中不可约因子的次数序列 (deg φ_i) 唯一确定（至多置换）。
• 当 Mon(φ) 包含一个可迁戴德金子群时，不可约因子的单值群序列 (Mon(φ_i)) 和自同构群序列 (Aut(φ_i)) 也唯一确定（至多同构与置换）。
• 对于具有可迁戴德金单值群的覆盖，存在一个从 Aut(ψ) → Aut(θ) 的典范同态（ψ = θ∘ρ），其核为 Aut(ρ)，从而对复合中自同构群的结构实现控制。
• 当 Mon(φ) 包含一个可迁戴德金子群时，复合覆盖 φ 的自同构群满足 |Aut(φ)| 整除 ∏_{i=1}^n |Aut(φ_i)|。
• 该结果适用于所有在 D( K̄ ) 上在某点处为完全且良态（tame）的覆盖，包括次数不被 char(K) 整除的多项式、加法多项式、椭圆曲线同源映射以及拉蒂斯映射。
• 对有理函数 f，|Aut(f)| 整除 ∏|Aut(f_i)| 的猜想在一般情况下不成立，反例如 f(X) = X^3 + X^{-3} 在 ℂ 上，此时整除性不成立。