[论文解读] On Fall Colorings of Graphs

Saeed Shaebani|ArXiv.org|Sep 15, 2009

Advanced Graph Theory Research参考文献 1被引用 8

一句话总结

本文研究图中的落叶着色（fall colorings），其中每个顶点在其闭邻域中必须看到所有颜色。文章建立了字典积和范畴积中落叶着色的条件，刻画了Mycielskian图的落叶着色（证明其恒为空），并表明对于二分图，其补图的落叶着色由色数唯一确定，且其可判定性在原图存在完美匹配时为多项式时间可解。

ABSTRACT

A fall $k$-coloring of a graph $G$ is a proper $k$-coloring of $G$ such that each vertex of $G$ sees all $k$ colors on its closed neighborhood. We denote ${ m Fall}(G)$ the set of all positive integers $k$ for which $G$ has a fall $k$-coloring. In this paper, we study fall colorings of lexicographic product of graphs and categorical product of graphs and answer a question of \cite{dun} about fall colorings of categorical product of complete graphs. Then, we study fall colorings of union of graphs. Then, we prove that fall $k$-colorings of a graph can be reduced into proper $k$-colorings of graphs in a specified set. Then, we characterize fall colorings of Mycielskian of graphs. Finally, we prove that for each bipartite graph $G$, ${ m Fall}(G^{c})\subseteq \{χ(G^{c}) \}$ and it is polynomial time to decision whether or not ${ m Fall}(G^{c})=\{χ(G^{c}) \}$.

研究动机与目标

• 刻画图的字典积与范畴积中的落叶着色。
• 解决关于完全图范畴积的落叶着色的一个开放问题。
• 研究图的并集中的落叶着色及其结构约束。
• 证明在特定图类中，落叶k-着色可归约为正常k-着色。
• 刻画Mycielskian图的落叶着色，并证明其恒为空。
• 分析二分图补图的落叶着色，并建立多项式时间可判定性。

提出的方法

• 使用字典积构造分析落叶着色如何从基图传播。
• 应用着色函数 f(x,y) = (g(x), h_g(x)(y))，从G和H的落叶着色构造G[H]中的落叶着色。
• 采用结构图分析证明Mycielskian图不具有落叶着色。
• 通过分析非孤立顶点上的诱导子图及其完美匹配，研究二分图的补图。
• 利用在G^c中，每个颜色类为单点或来自二分图两部分的顶点对这一事实。
• 将Fall(G^c)的判定问题归约为非孤立顶点诱导子图中完美匹配的存在性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，字典积G[H]允许存在落叶k-着色？
• RQ2 能否完全刻画完全图范畴积的落叶着色，且本文的构造是否解决了文献[3]中的开放问题？
• RQ3 Mycielskian构造是否保持落叶着色的可能性？若否，原因为何？
• RQ4 对于二分图G，Fall(G^c)在何时非空，其落叶着色的结构如何？
• RQ5 是否能以多项式时间判定，对于二分图G，Fall(G^c) = {χ(G^c})？

主要发现

• 字典积G[H]存在落叶k-着色当且仅当G和H各自存在落叶着色，且k等于G中每个颜色类对应H的落叶着色数之和。
• Fall(G[H])非空仅当Fall(H)非空，且对每个x ∈ V(G)，由f诱导的H_x的着色是落叶|S_x|-着色。
• 任意图G的Mycielskian图均无落叶着色，即Fall(M(G)) = ∅，这是由于顶点z处的颜色主导性导致矛盾。
• 对任意二分图G，Fall(G^c) ⊆ {χ(G^c)}，且Fall(G^c) = {χ(G^c)}当且仅当G的非孤立顶点诱导子图存在完美匹配。
• 判定Fall(G^c) = {χ(G^c)}的问题是多项式时间可解的，因其可归约为检查G的非孤立子图中是否存在完美匹配。
• G^c的落叶着色由G的结构唯一确定：每个颜色类要么是单点（G中的孤立顶点），要么是{y,z}，其中y和z属于G二分图的两个不同部分。