[论文解读] On families of n-congruent elliptic curves

Tom Fisher|arXiv (Cornell University)|May 9, 2011

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 19被引用 8

一句话总结

该论文通过使用不变量理论计算模曲线 X(n) 的扭曲线，构造了 ℚ 上无穷多组非同构的椭圆曲线，这些曲线在 n = 9 和 n = 11 时彼此 n-同构。证明了此类配对存在无穷多组，并为 n = 11 提供了首个显式例子，同时扩展了对 n = 7 和 n = 9 的已知结果。

ABSTRACT

We use an invariant-theoretic method to compute certain twists of the modular curves X(n) for n=7,9,11. Searching for rational points on these twists enables us to find non-trivial pairs of n-congruent elliptic curves over Q, i.e. pairs of non-isogenous elliptic curves over Q whose n-torsion subgroups are isomorphic as Galois modules. We also show by giving explicit non-trivial examples over Q(T) that there are infinitely many examples over Q in the cases n=9 and n=11.

研究动机与目标

• 证明猜想：对于 n = 9 和 n = 11，ℚ 上存在无穷多组非同构的 n-同构椭圆曲线对。
• 利用代数几何与不变量理论，构造此类配对的显式族。
• 为 n = 9 和 n = 11 提供模曲线 X_E(n) 和 X_E^-(n) 的显式方程，以支持有理点的搜索。
• 将已知的 n = 7 的结果扩展至 n = 9 和 n = 11，提供具体且可计算的族。
• 通过在 X(n) 的扭曲线上搜索有理点，弥补先前关于 n = 11 的研究中缺乏显式例子的不足。

提出的方法

• 使用不变量理论方法，计算模曲线 X(n) 在 n = 7, 9, 11 时的扭曲线，特别关注参数化 n-同构椭圆曲线的 X_E(n) 和 X_E^-(n)。
• 应用 SL_2(ℤ/nℤ) 在 X(n) 上作用的代数公式，推导出与给定椭圆曲线 E 对应的扭曲线方程。
• 对于满足 μ_n ⊂ E[n] 的曲线 E，推导出 X_E(n) 和 X_E^-(n) 的简化公式，以简化计算。
• 通过在 ℚ 上的最小化与约化变换，简化所得方程，便于有理点的搜索。
• 利用 j-不变量映射 j: X_E(n) → ℙ^1 和 j: X_E^-(n) → ℙ^1 指导有理点的搜索。
• 利用 X_E(9) → X_E(3) 的几何结构，简化族的构造。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在无穷多组 ℚ 上非同构的椭圆曲线对，使得它们在 n = 9 和 n = 11 时彼此 n-同构？
• RQ2 能否为 n = 9 和 n = 11 显式构造此类 n-同构对的族？
• RQ3 n = 9 和 n = 11 时，模曲线 X_E(n) 和 X_E^-(n) 的代数方程是什么？
• RQ4 能否通过不变量理论方法克服 n = 11 时缺乏显式例子的问题？
• RQ5 如何有效计算 X(n) 扭曲线上的有理点，并利用这些点生成 ℚ 上的 n-同构椭圆曲线？

主要发现

• 该论文构造了 ℚ 上无穷多组非同构的 9-同构椭圆曲线对，证明了 n = 9 时的猜想。
• 对于 n = 11，该论文首次提供了 ℚ 上无穷多组 11-同构非同构椭圆曲线对的显式构造，填补了先前研究的空白。
• 推导出了 X_E(9) 和 X_E^-(9)，以及 X_E(11) 和 X_E^-(11) 的显式方程，使得有理点的系统性搜索成为可能。
• 该方法得到了 121 组显式的 9-同构椭圆曲线对和 100 组显式的 11-同构椭圆曲线对，列于表 1 和表 2 中。
• n = 9 的构造利用了自然映射 X_E(9) → X_E(3)，其具有简单的几何描述，从而简化了有理点的搜索。
• 对于 n = 11，论文表明 j-不变量映射 j: X_E(11) → ℙ^1 和 j: X_E^-(11) → ℙ^1 是可计算的，即使在高亏格情况下，也能实现有效的有理点搜索。