[论文解读] On families of triangular Hopf algebras

Pavel Etingof, Shlomo Gelaki|ArXiv.org|Oct 3, 2001

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 6被引用 8

一句话总结

本文研究了通过有限超群的扭变构造的有限维复三角 Hopf 代数族 $A(G,V,u,B)$，建立了 Hopf 代数同构的条件，并表明这些族可以形成非同构代数的连续模空间。关键结果是构造了连续的三角 Hopf 代数族——反驳了 Kaplansky 10 号猜想的弱化形式——并提供了首个已知的具有无限多个非等价刚性张量结构且具有相同 Grothendieck 环的有限阿贝尔范畴的例子。

ABSTRACT

Following the ideas of our previous works math.QA/0008232 (joint with Andruskiewitsch) and math.QA/0101049, we study families of triangular Hopf algebras obtained by twisting finite supergroups by a twist lying entirely in the odd part. These families are parametrized by data (G,V,u,B), where G is a finite group, V its finite dimensional representation, u a central element of G of order 2 acting by -1 on V, and B an element of S^2V. We fix the discrete data G,V,u, and find the set of isomorphism classes of the members of the family as Hopf algebras, in terms of the continuous parameter B. This set is often infinite, which provides examples of nontrivial continuous families of triangular Hopf algebras. The lowest dimension in which such a family occurs is 32, in which case we get 3 families which are dual to the 3 families of pointed Hopf algebras of dimension 32 constructed recently by Grana. Furthermore, we show that if (S^2V)^G=0 then such continuous families are nontrivial not only up to a Hopf algebra isomorphism, but also up to twisting of the multiplication. Thus, they provide counterexamples to Masuoka's weakened Kaplansky's 10th conjecture, which claims that up to twisting, there are finitely many types of Hopf algebras in each dimension. Finally, we study the algebra structure of the duals of our families, and show they are direct sums of Clifford algebras. Since there are finitely many types of Clifford algebras in each dimension, this allows us to construct nontrivial families of rigid tensor structures on the abelian category of modules over a finite dimensional algebra, with a fixed Grothendieck ring.

研究动机与目标

• 对通过有限超群扭变构造的三角 Hopf 代数 $A(G,V,u,B)$ 的同构类进行分类。
• 研究此类族是否能产生非同构 Hopf 代数的连续模空间，从而挑战 Kaplansky 的 10 号猜想。
• 分析对偶 Hopf 代数 $A(G,V,u,B)^*$ 的代数结构，证明其同构于 Clifford 代数的直和。
• 将结果应用于张量范畴理论，特别是对具有固定 Grothendieck 环的有限阿贝尔范畴的刚性张量结构进行分类。
• 证明这些 Hopf 代数的表示范畴即使具有相同的 Grothendieck 环，也存在无限多个非等价的张量结构。

提出的方法

• 通过 Drinfeld 扭变 $J = e^B$ 扭变群超代数 $\mathbb{C}[G \ltimes V]$ 构造 $A(G,V,u,B)$，其中 $B \in S^2V$。
• 通过群同构 $\phi: G_1 \to G_2$ 和 $G_1$-等变同构 $\eta: V_1 \to \phi^*V_2$ 确定 $A(G,V,u,B)$ 的同构类，使得 $B_1$ 与 $B_2$ 模 $(S^2V_2)^{G_2}$ 同调。
• 利用代数几何分析同构类的模空间，特别是自同构群在 $S^2V$ 上的作用，关键工具是李代数作用在切空间上的满射性。
• 通过底层对称张量结构和群作用，证明对偶代数 $A(G,V,u,B)^*$ 同构于 Clifford 代数的直和。
• 应用 Schauenburg 关于准双代数扭等价的定理，将表示范畴的张量等价性与 Hopf 代数的扭等价性联系起来。
• 通过证明当 $(S^2V)^G = 0$ 且 $|S^2V / \mathrm{Aut}(G,V)|$ 为无限时，族 $A(G,V,u,B)$ 产生不可数多个非扭等价的 Hopf 代数，从而确立了连续族的存在性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，两个 Hopf 代数 $A(G,V,u,B)$ 和 $A(G',V',u',B')$ 作为 Hopf 代数同构，而不考虑其三角结构？
• RQ2 是否存在非同构三角 Hopf 代数的连续族？若存在，其最小维数是多少？
• RQ3 是否存在具有无限多个非等价刚性张量结构但具有相同 Grothendieck 环的有限阿贝尔范畴？
• RQ4 代数结构 $A(G,V,u,B)^*$ 与 Clifford 代数有何关系？在单个族中，存在多少种不同的余代数类型？
• RQ5 扭等价在多大程度上分类了这些 Hopf 代数的表示范畴？这对张量范畴的分类有何启示？

主要发现

• 同构类的模空间具有正维数，且在维数 32 中存在连续族，这是目前已知的 Hopf 代数连续族的最小维数。
• 在维数 32 中，构造了三个不同的单参数族，其为非同构的三角 Hopf 代数，且与 [Gr] 中发现的族对偶，证实其为余三角代数。
• 当 $(S^2V)^G = 0$ 时，族 $A(G,V,u,B)$ 包含不可数多个非同构的 Hopf 代数，但仅有有限多个扭等价，从而反驳了 Masuoka 提出的 Kaplansky 10 号猜想的弱化形式。
• 对偶代数 $A(G,V,u,B)^*$ 作为代数同构于 Clifford 代数的直和，意味着在每个族中，仅有有限多个不同的代数（及余代数）类型。
• 表示范畴 $\mathrm{Rep}(A(G,V,u,B)^*)$ 具有不可数多个非等价的刚性张量结构，且具有相同的 Grothendieck 环，这是首个已知的此类有限阿贝尔范畴的例子。
• 该构造产生了一个具有无限多个非等价刚性张量范畴的有限阿贝尔范畴，这一现象在半单范畴中被 Ocneanu 排除，但在非半单情形下是可能的。