[论文解读] On Feasibility of Interference Alignment in MIMO Interference Networks

Cenk M. Yetiş, Tiangao Gou+2 more|ArXiv.org|Nov 23, 2009

Advanced MIMO Systems Optimization参考文献 12被引用 5

一句话总结

本文研究了在MIMO干扰网络中使用信号空间波束成形实现干扰对齐的可行性，将问题建模为求解多元多项式方程组。研究发现，可行性取决于系统是否为‘恰当系统’——即方程与变量之间的平衡关系——并利用代数几何工具（如Bernstein定理）进行分析；在多波束情况下，若引入信息论外 bounds，则可获得更强的保证。

ABSTRACT

We explore the feasibility of interference alignment in signal vector space -- based only on beamforming -- for K-user MIMO interference channels. Our main contribution is to relate the feasibility issue to the problem of determining the solvability of a multivariate polynomial system, considered extensively in algebraic geometry. It is well known, e.g. from Bezout's theorem, that generic polynomial systems are solvable if and only if the number of equations does not exceed the number of variables. Following this intuition, we classify signal space interference alignment problems as either proper or improper based on the number of equations and variables. Rigorous connections between feasible and proper systems are made through Bernshtein's theorem for the case where each transmitter uses only one beamforming vector. The multi-beam case introduces dependencies among the coefficients of a polynomial system so that the system is no longer generic in the sense required by both theorems. In this case, we show that the connection between feasible and proper systems can be further strengthened (since the equivalency between feasible and proper systems does not always hold) by including standard information theoretic outer bounds in the feasibility analysis.

研究动机与目标

• 确定仅使用波束成形时，在K用户MIMO干扰信道中实现干扰对齐的条件。
• 将干扰对齐的可行性与代数几何中多元多项式方程组的可解性联系起来。
• 根据方程数与变量数之间的平衡关系，将干扰对齐问题分类为‘恰当’或‘不恰当’系统。
• 通过在多波束情况下引入信息论外 bounds，强化可行系统与恰当系统之间的联系。
• 为利用几何与代数工具预测MIMO干扰网络中的自由度，提供一个严格的数学框架。

提出的方法

• 将干扰对齐问题建模为由接收端干扰迫零约束导出的多元多项式方程组。
• 应用Bézout定理分析一般可解性，表明仅当方程数不超过变量数时，可行性才可能成立。
• 通过子集条件引入‘恰当系统’的概念：对于任意方程子集，涉及的变量数必须不少于方程数。
• 利用Bernstein定理在单波束情况下严格建立可行性与恰当性之间的联系，此时系数为通用情形。
• 在多波束情况下，考虑系数依赖性导致的非通用性，需引入信息论外 bounds 作为额外约束。
• 通过可逆变换消除冗余基表示，减少设计变量数量，得到最小变量数：$ N_v = \sum_{k=1}^{K} d^{[k]}(M^{[k]} + N^{[k]} - 2d^{[k]}) $。

实验结果

研究问题

• RQ1 在仅使用线性波束成形的K用户MIMO干扰信道中，干扰对齐在何种条件下是可行的？
• RQ2 干扰对齐问题的可解性如何与底层多元多项式系统的结构相关？
• RQ3 是否能通过方程数与变量数之间的组合条件来判断干扰对齐的可行性？
• RQ4 在多波束情况下，系数依赖性如何影响Bézout定理与Bernstein定理等一般可解性定理的有效性？
• RQ5 信息论外 bounds 在多波束设置下，能在多大程度上改进对可行干扰对齐系统的表征，超越恰当/不恰当分类？

主要发现

• 当且仅当系统为‘恰当系统’时，K用户MIMO干扰信道才可实现干扰对齐，即对任意对齐方程子集，涉及的变量数不少于方程数。
• 在单波束情况下，根据Bernstein定理，可行性与恰当性等价，为可行性分析提供了严格的代数基础。
• 在多波束情况下，系数依赖性破坏了通用性，因此可行性与恰当性之间的等价性不再恒成立，需引入额外约束。
• 对称MIMO干扰信道在$ (M \times N, d)^K $配置下，当且仅当$ M + N - (K+1)d \geq 0 $时为恰当系统，提供了简洁的可行性判据。
• 波束成形与接收滤波的设计变量总数为$ N_v = \sum_{k=1}^{K} d^{[k]}(M^{[k]} + N^{[k]} - 2d^{[k]}) $，该值决定了系统的潜在可解性。
• 在多波束设置中引入信息论外 bounds，可加强可行系统与恰当系统之间的联系，提升可行性预测的准确性。