[论文解读] On feedback classification of control-affine systems with one and two-dimensional inputs

Andrei Agrachev, Igor Zelenko|ArXiv.org|Feb 1, 2005

Adaptive Control of Nonlinear Systems参考文献 1被引用 4

一句话总结

本文在状态反馈等价意义下，对n维流形（n ≥ 4时为标量输入，n = 4,5时为两输入）上的通用控制仿射系统实现了完整的局部分类。通过庞加莱级数引入规范标架与反馈不变量，将分类问题转化为变量数不同的函数模的参数化问题，并在C^∞与C^ω范畴中给出了显式参数化及内在模数的计数。

ABSTRACT

The paper is devoted to the local classification of generic control-affine systems on an n-dimensional manifold with scalar input for any n>3 or with two inputs for n=4 and n=5, up to state-feedback transformations, preserving the affine structure. First using the Poincare series of moduli numbers we introduce the intrinsic numbers of functional moduli of each prescribed number of variables on which a classification problem depends. In order to classify affine systems with scalar input we associate with such a system the canonical frame by normalizing some structural functions in a commutative relation of the vector fields, which define our control system. Then, using this canonical frame, we introduce the canonical coordinates and find a complete system of state-feedback invariants of the system. It also gives automatically the micro-local (i.e. local in state-input space) classification of the generic non-affine n-dimensional control system with scalar input for n>2. Further we show how the problem of feedback-equivalence of affine systems with two-dimensional input in state space of dimensions 4 and 5 can be reduced to the same problem for affine systems with scalar input. In order to make this reduction we distinguish the subsystem of our control system, consisting of the directions of all extremals in dimension 4 and all abnormal extremals in dimension 5 of the time optimal problem, defined by the original control system. In each classification problem under consideration we find the intrinsic numbers of functional moduli of each prescribed number of variables according to its Poincare series.

研究动机与目标

• 建立n ≥ 4维流形上标量输入的通用控制仿射系统在状态反馈等价下的完整局部分类。
• 通过庞加莱级数引入函数模的内在数量，量化分类对不同变量数函数的依赖性。
• 通过李括号关系中结构函数的归一化，为标量输入系统构造规范标架与反馈不变结构。
• 通过识别极值子系统（n=4时为时间最优，n=5时为异常极值），将n=4与n=5时的两输入分类问题约化为标量输入情形。
• 提供分类问题的特征参数化，显式列出每种变量数下函数不变量的数量与权重。

提出的方法

• 通过归一化定义控制系统的向量场李括号恒等式中的结构函数，构造规范标架。
• 利用规范标架定义规范坐标，提取完整的状态反馈不变量系统。
• 使用庞加莱级数计算分类问题中每种指定变量数的内在函数模数量。
• 通过分离极值子系统（n=4时为时间最优，n=5时为异常极值），将n=4与n=5时的两输入问题约化为标量输入问题。
• 引入恢复不变量R，即一个五变量的反馈不变函数，用于唯一重构原始系统（模反馈等价）。
• 通过参数化矩阵P的归一化，导出特征矩阵C = Norm(P)，从而按权重与变量数对函数不变量进行特征参数化。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于n ≥ 4维流形上的一般实解析5维控制仿射系统，其状态反馈不变量的完整集合是什么？
• RQ2 如何将n=4与n=5维两输入系统的分类问题约化为标量输入情形？
• RQ3 通过庞加莱级数编码的分类问题中，每种指定变量数的内在函数模数量是多少？
• RQ4 分类问题的特征参数化是什么？函数不变量如何按权重与变量数分布？
• RQ5 恢复不变量R如何实现从其约化形式与不变量唯一重构系统？

主要发现

• 对于一般实解析5维两输入控制仿射系统，其分类由4个5变量函数的芽、10个4变量函数的芽、10个3变量函数的芽、5个2变量函数的芽，以及恢复不变量R参数化。
• 分类问题的庞加莱级数为 M(t) = 1/(1−t)^6 + t^3(5/(1−t)^3 + 10/(1−t)^4 + 10/(1−t)^5 + 3/(1−t)^6)。
• 特征矩阵 C = Norm(P) 为 [[1,3,6,5],[0,0,0,16],[0,0,0,13],[0,0,0,4]]，编码了按权重与变量数划分的不变量数量。
• n ≥ 5维一般标量输入系统的分类是微局部的，且在C^ω范畴下等价于微分1-形式的分类。
• 特征参数化包括4个5变量不变量（权重0）、13个4变量不变量（权重3）、16个3变量不变量（权重3）以及1个2变量不变量（权重0），此外在权重1、2、3处分别有3、6、5个2变量不变量。
• 系统可唯一地从其约化形式与恢复不变量R重构，其中R是五变量的权重0反馈不变量。