[论文解读] On Fenchel-Nielsen coordinates on Teichmüller spaces of surfaces of infinite type

Daniele Alessandrini, Lixin Liu+3 more|arXiv (Cornell University)|Mar 4, 2010

Analytic and geometric function theory参考文献 21被引用 15

一句话总结

本文通过建立尼尔森-凸性条件，将芬彻尔-尼尔森坐标推广至无限类型曲面的霍赫曼空间，实现了对拓扑对裤分解的几何实现。定义了芬彻尔-尼尔森霍赫曼空间，并与拟共形霍赫曼空间进行比较，证明在有界性条件下，两者之间的恒等映射为同胚，关键结果包括度量等价性与拓扑性质的建立。

ABSTRACT

We introduce Fenchel-Nielsen coordinates on Teicmüller spaces of surfaces of infinite type. The definition is relative to a given pair of pants decomposition of the surface. We start by establishing conditions under which any pair of pants decomposition on a hyperbolic surface of infinite type can be turned into a geometric decomposition, that is, a decomposition into hyperbolic pairs of pants. This is expressed in terms of a condition we introduce and which we call Nielsen convexity. This condition is related to Nielsen cores of Fuchsian groups. We use this to define the Fenchel-Nielsen Teichmüller space associated to a geometric pair of pants decomposition. We study a metric on such a Teichmüller space, and we compare it to the quasiconformal Teichmüller space, equipped with the Teichmüller metric. We study conditions under which there is an equality between these Teichmüller spaces and we study topological and metric properties of the identity map when this map exists.

研究动机与目标

• 将芬彻尔-尼尔森坐标扩展至无限拓扑类型的曲面霍赫曼空间，其中标准的有限类型工具失效。
• 通过尼尔森-凸性定义此类曲面上的规范双曲度量，确保每个拓扑对裤分解均可通过同伦变形为几何分解。
• 基于固定几何对裤分解构造芬彻尔-尼尔森霍赫曼空间，并研究其度量与拓扑结构。
• 将芬彻尔-尼尔森霍赫曼空间与拟共形霍赫曼空间进行比较，分析两者之间的恒等映射。
• 识别出两个霍赫曼空间重合的条件，并研究恒等映射的连续性与有界性。

提出的方法

• 引入尼尔森-凸性的概念：一种作用于双曲曲面的条件，确保每个拓扑对裤分解同伦于一个几何分解。
• 证明尼尔森-凸性等价于通过拼接广义双曲对裤构造几何对裤分解的存在性。
• 将芬彻尔-尼尔森霍赫曼空间 $\mathcal{T}_{FN}$ 定义为相对于固定几何对裤分解，长度与扭转参数有界的带标记双曲结构的集合。
• 通过公式 $ d_{FN}(x,y) = \sup_{i} \max\left( \left| \log \frac{l_x(C_i)}{l_y(C_i)} \right|, \, |l_x(C_i)\theta_x(C_i) - l_y(C_i)\theta_y(C_i)| \right) $ 定义芬彻尔-尼尔森度量，捕捉长度与扭转的变化。
• 利用拟共形映射与拟共形膨胀率，比较芬彻尔-尼尔森与拟共形霍赫曼空间。
• 构造反例以证明上界有界性对度量等价性是必要的，并表明某些曲面无法相对于任何分解实现上界有界。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，无限类型曲面上的拓扑对裤分解可同伦变形为双曲对裤的几何分解？
• RQ2 尼尔森-凸性如何与几何对裤分解的存在性及此类曲面上规范双曲度量的建立相关联？
• RQ3 芬彻尔-尼尔森霍赫曼空间 $\mathcal{T}_{FN}$ 何时等于拟共形霍赫曼空间 $\mathcal{T}_{qc}$？
• RQ4 恒等映射在 $\mathcal{T}_{FN}$ 与 $\mathcal{T}_{qc}$ 之间的拓扑与度量性质为何，尤其在有界性条件下？
• RQ5 是否存在某些无限类型双曲曲面，其相对于任何对裤分解均无法实现上界有界？

主要发现

• 尼尔森-凸性等价于几何对裤分解的存在性：每个拓扑分解均可同伦变形为广义双曲对裤的分解。
• 芬彻尔-尼尔森霍赫曼空间 $\mathcal{T}_{FN}(H_0)$ 对满足长度与扭转参数上界条件的基点 $H_0$ 是良定义的。
• 从 $\mathcal{T}_{FN}(H_0)$ 到 $\mathcal{T}_{qc}(H_0)$ 的恒等映射为同胚，当且仅当基点 $H_0$ 相对于所选对裤分解是上界有界的。
• 芬彻尔-尼尔森度量与使用长度或扭转绝对差值的其他度量不等价，反例表明 $d_{FN} \to \infty$ 而其他距离 $\to 0$。
• 存在无限类型双曲曲面，其相对于任何对裤分解均无法实现上界有界，此由先前构造的非完备曲面所证实。
• 芬彻尔-尼尔森度量以一种确保在控制长度与扭转参数时收敛的方式捕捉两者的变动，而基于绝对差值的简单度量则不具备此性质。