[论文解读] On Fibers and Renormalization of Julia Sets and Multibrot Sets

Dierk Schleicher|ArXiv.org|Feb 26, 1999

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 18被引用 15

一句话总结

本文研究了在复动力系统中，纤维（由外部射线对定义的朱利亚集与多重巴特集的子集）在共形重整化与调谐映射下的行为。证明了对单临界多项式而言，纤维的平凡性（意味着局部连通性）在调谐与重整化下保持不变，从而将 Petersen 对有界类型 Siegel 圆盘的局部连通性结果推广至任意周期。

ABSTRACT

We continue the description of Mandelbrot and Multibrot sets and of Julia sets in terms of fibers which was begun in IMS preprints 1998/12 and 1998/13a. The question of local connectivity of these sets is discussed in terms of fibers and becomes the question of triviality of fibers. In this paper, the focus is on the behavior of fibers under renormalization and other surgery procedures. We show that triviality of fibers of Mandelbrot and Multibrot sets is preserved under tuning maps and other (partial) homeomorphisms. Similarly, we show for unicritical polynomials that triviality of fibers of Julia sets is preserved under renormalization and other surgery procedures, such as the Branner-Douady homeomorphisms. We conclude with various applications about quadratic polynomials and its parameter space: we identify embedded paths within the Mandelbrot set, and we show that Petersen's theorem about quadratic Julia sets with Siegel disks of bounded type generalizes from period one to arbitrary periods so that they all have trivial fibers and are thus locally connected.

研究动机与目标

• 将纤维方法在复动力系统中对局部连通性的研究从二次情形推广至任意次数的单临界多项式。
• 分析纤维结构在多重巴特集与朱利亚集中的调谐映射与重整化下的行为。
• 将 Petersen 关于具有有界类型 Siegel 圆盘的二次朱利亚集的局部连通性结果推广至任意周期。
• 证明纤维平凡性在手术操作（如 Branner-Douady 同胚与交叉重整化）下保持不变。
• 利用纤维与射线对结构表征曼德布罗特集中的嵌入路径与弧连通性。

提出的方法

• 通过在共同点处相交的外部射线对定义多重巴特集与朱利亚集的纤维，并对内部组件施加额外分离。
• 运用多项式似映射理论与 Yoccoz 拼图技术分析拼图块的收缩，其等价于纤维平凡性。
• 应用调谐映射与重整化，将大集合（如主多重巴特集）中的纤维结构与小副本（如小多重巴特集）中的结构联系起来。
• 利用 Branner-Douady 同胚在曼德布罗特集的各叶之间传递纤维性质，表明其与调谐相容。
• 将纤维定义扩展至包含在 Siegel 圆盘存在时，落在临界值上的射线的广义轨道。
• 利用具有周期 n 的 Siegel 圆盘的参数位于周期 n 的双曲组件边界这一事实，从而可从主心脏形区域应用调谐映射。

实验结果

研究问题

• RQ1 曼德布罗特集中的纤维平凡性是否在调谐与重整化下蕴含局部连通性？
• RQ2 当多项式仅有一个临界点时，朱利亚集的纤维结构在重整化下是否保持不变？
• RQ3 Petersen 关于周期为一的有界类型 Siegel 圆盘的二次朱利亚集的局部连通性结果能否推广至任意周期？
• RQ4 Branner-Douady 同胚如何影响曼德布罗特集中纤维的平凡性？
• RQ5 有理参数射线对在分离纤维及在手术操作下保持平凡性方面起什么作用？

主要发现

• 在多重巴特集中，纤维平凡性在调谐映射下保持不变：一个点具有平凡纤维当且仅当其调谐像也具有平凡纤维。
• 对于单临界多项式，若朱利亚集的任意重整化具有平凡纤维，则整个朱利亚集均具有平凡纤维，因此是局部连通的。
• 曼德布罗特集中任一交叉重整可实现的参数的纤维是平凡的，当且仅当其交叉重整像的纤维也是平凡的。
• 从曼德布罗特集的 1/2 叶到 1/3 叶的 Branner-Douady 同胚保持了纤维平凡性。
• 具有有界类型 Siegel 圆盘的二次多项式朱利亚集具有平凡纤维，因此是局部连通的，无论周期为何。
• 通过应用调谐映射与重整化下纤维不变性，将 Petersen 的周期一定理推广至任意周期。