[论文解读] On Fields With Only Finitely Many Maximal Subrings

Alborz Azarang|arXiv (Cornell University)|Dec 16, 2014

Rings, Modules, and Algebras参考文献 22被引用 4

一句话总结

本文完全刻画了仅含有限多个极大子环的域，证明其为绝对代数域，且存在唯一一个不具极大子环的子域，且其扩张次数有限。关键结果建立了有限极大子环、有限长度的极大子环链，以及不具极大子环的子域上的有限扩张三者之间的等价性。

ABSTRACT

Fields with only finitely many maximal subrings are completely determined. We show that such fields are certain absolutely algebraic fields and give some characterization of them. In particular, we show that the following conditions are equivalent for a field $E$: 1. $E$ has only finitely many maximal subrings. 2. $E$ has a subfield $F$ which has no maximal subrings and $[E:F]$ is finite. 3. Every descending chain $\cdots\subset R_2\subset R_1\subset R_0=E$ where each $R_i$ is a maximal subring of $R_{i-1}$, $i\geq 1$, is finite. Moreover, if one of the above equivalent conditions holds, then $F$ is unique and contains all subfields of $E$ which have no maximal subrings. Furthermore, all chains in $(3)$ have the same length, $m$ say, and $R_m=F$, where $m$ is the sum of all powers of primes in the factorization of $[E:F]$ into prime numbers.\\ We also determine when certain affine rings have only finitely many maximal subrings. In particular, we prove that if $R=F[α_1,\ldots,α_n]$ is an affine integral domain over a field $F$, then $R$ has only finitely many maximal subrings if and only if $F$ has only finitely many maximal subrings and each $α_i$ is algebraic over $F$, which is similar to the celebrated Zariski's Lemma. Finally, we show that if $R$ is an uncountable PID then $R$ has at least $|R|$-many maximal subrings.

研究动机与目标

• 完全分类仅含有限多个极大子环的域。
• 确定域扩张在何种结构条件下，其扩张域仅含有限多个极大子环。
• 刻画在域上仿射整环何时仅含有限多个极大子环。
• 建立极大子环数量与基域及扩张的代数结构之间的联系。

提出的方法

• 建立三个条件之间的等价性：(1) 有限个极大子环，(2) 不具极大子环的子域上的有限扩张，以及 (3) 极大子环的有限链。
• 利用整扩张中极大子环的结构及绝对代数域的性质。
• 应用Zariski引理与Artin-Tate定理的结果，分析仿射域及其极大子环。
• 通过PID中不可约元与单位元的链构造，推导极大子环数量的下界。
• 分析不可数PID，利用代数无关性与不可约性论证，证明其至少含有 |R| 个极大子环。
• 利用如下事实：若环含有无穷多个不可约单位，则其必存在无限递减的极大子环链。

实验结果

研究问题

• RQ1 哪些域仅含有限多个极大子环？
• RQ2 域扩张在何种结构条件下，使得其扩张域仅含有限多个极大子环？
• RQ3 在何种条件下，域上仿射整环仅含有限多个极大子环？
• RQ4 极大子环的数量如何与基域及扩张的代数结构相关？
• RQ5 是否可在不可数PID中构造无限递减的极大子环链？这又对极大子环数量意味着什么？

主要发现

• 域 $ E $ 仅含有限多个极大子环，当且仅当其为一个不具极大子环的子域 $ F $ 的有限扩张。
• 子域 $ F $ 是唯一的，且包含 $ E $ 中所有不具极大子环的子域。
• 在 $ E $ 中，所有极大子环链的长度均为有限值 $ m $，且 $ R_m = F $，其中 $ m $ 为 $ [E:F] $ 的素因数分解中各素数幂次之和。
• 仿射整环 $ R = F[eta_1, eta_2, \newline\beta_n] $ 仅含有限多个极大子环，当且仅当 $ F $ 仅含有限多个极大子环，且每个 $ \beta_i $ 在 $ F $ 上代数，此结果类比Zariski引理。
• 不可数PID $ R $ 至少含有 $ |R| $ 个极大子环，且此类环必存在无限递减的极大子环链。
• 若域 $ K $ 仅含有限多个极大子环，则环 $ T = K[\beta] $（其中 $ \beta^2 = 0 $）恰有 $ 1 + |RgMax(K)| $ 个极大子环。