[论文解读] On finite Morse index solutions to the quadharmonic Lane-Emden equation

Senping Luo, Juncheng Wei+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 5, 2016

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 16被引用 3

一句话总结

本文为 $ \mathbb{R}^n$ 中的四调和 Lane-Emden 方程 $ \Delta^4 u = |u|^{p-1}u$ 确定了 Joseph-Lundgren 指标 $p_c(n)$，推导出一个单调性公式，并对有限 Morse 指标解进行了分类，证明当 $p < p_c(n)$ 时，此类解恒为零，其中 $p_c(n)$ 在 $n \geq 18$ 时显式计算得出，且当 $n \leq 17$ 时 $p_c(n) = \infty$。结果将 Liouville 型定理推广至高阶椭圆方程。

ABSTRACT

In this paper, we compute the Joseph-Lundgren exponent for the quadharmonic Lane-Emden equation, derive a monotonicity formula and classify the finite Morse index solution to the following quadharmonic Lane-Emden equation: oindent \begin{equation} onumber Δ^4 u=|u|^{p-1}u\;\;\;\;\hbox{in}\;\;\;\;\; \R^n. \end{equation} As a byproduct, we also get a monotonicity formula for the quadharmonic maps $ Δ^4 u=0$.

研究动机与目标

• 为 $ \mathbb{R}^n$ 中的四调和 Lane-Emden 方程 $ \Delta^4 u = |u|^{p-1}u$ 计算 Joseph-Lundgren 指标 $p_c(n)$。
• 为该方程的稳定解与有限 Morse 指标解推导出一个单调性公式。
• 对所有有限 Morse 指标解进行分类，并证明 Liouville 型定理，表明在某些依赖于 $p$ 的条件下，此类解必为平凡解（$u \equiv 0$）。
• 将现有的 Liouville 型结果从二阶推广至四阶半线性椭圆方程。

提出的方法

• 通过涉及 $|\Delta^2 u|^2$ 与 $|u|^{p+1}$ 的加权能量泛函 $E(r,0,u)$，为方程 $\Delta^4 u = |u|^{p-1}u$ 的解推导出单调性公式。
• 利用缩放序列 $u^\lambda(x) = \lambda^{8/(p-1)} u(\lambda x)$ 的吹除方法，分析无穷远处的渐近行为。
• 应用导数估计与衰减界，控制单调性公式中的误差项，证明 $E(r,0,u)$ 有界且最终趋于零。
• 利用由缩放极限得到的极限解 $u^\infty$ 的齐次性，推导出当 $p < p_c(n)$ 时 $u^\infty \equiv 0$，从而推出 $u \equiv 0$。
• 应用 Pohozaev 型恒等式，并在环形区域上分部积分，推导出能量恒等式 $\int |\Delta^2 u|^2 = \int |u|^{p+1}$，当 $p = \frac{n+8}{n-8}$ 时成立。
• 通过涉及 $n$ 的嵌套根式与高次多项式的复杂数学表达式，建立 $p_c(n)$ 的显式形式，适用于 $n \geq 18$。

实验结果

研究问题

• RQ1 四调和 Lane-Emden 方程在 $ \mathbb{R}^n$ 中的 Joseph-Lundgren 指标 $p_c(n)$ 的精确值是什么？
• RQ2 在何种 $p$ 条件下，方程 $\Delta^4 u = |u|^{p-1}u$ 的有限 Morse 指标解恒为零？
• RQ3 能否为四调和方程的解建立单调性公式？它如何控制解在无穷远处的行为？
• RQ4 临界指数 $p = \frac{n+8}{n-8}$ 在有限能量解的分类中起什么作用？
• RQ5 缩放极限 $u^\lambda$ 的行为如何？它揭示了解的何种结构特征？

主要发现

• 当 $n \leq 17$ 时，Joseph-Lundgren 指标为 $p_c(n) = \infty$，意味着所有有限 Morse 指标解在 $p < \infty$ 时恒为零，而这对所有 $p > 1$ 成立。
• 当 $n \geq 18$ 时，Joseph-Lundgren 指标为 $p_c(n) = \frac{n+6-2d(n)}{n-10-2d(n)}$，其中 $d(n)$ 是一个包含 $n$ 的根式与多项式组合的复杂数学表达式，且当 $n \to \infty$ 时 $p_c(n) \to \infty$。
• 方程 $\Delta^4 u = |u|^{p-1}u$ 的有限 Morse 指标解在 $1 < p < \frac{n+8}{n-8}$ 或 $\frac{n+8}{n-8} < p < p_c(n)$ 时恒为零。
• 在临界指数 $p = \frac{n+8}{n-8}$ 时，有限 Morse 指标解具有有限能量：$\int_{\mathbb{R}^n} |\Delta^2 u|^2 = \int_{\mathbb{R}^n} |u|^{p+1} < \infty$。
• 单调性公式表明 $E(r,0,u) \to 0$ 当 $r \to \infty$ 且 $r \to 0$，从而推出 $E(r,0,u) \equiv 0$，这迫使 $u$ 为齐次函数，因此当 $p < p_c(n)$ 时必有 $u \equiv 0$。
• 缩放极限 $u^\lambda$ 收敛于一个齐次解 $u^\infty$，若 $p < p_c(n)$，则 $u^\infty \equiv 0$，这意味着当 $|x| \to \infty$ 时，有 $|x|^{8/(p-1)}|u(x)| \to 0$。