[论文解读] On Fixed-point theorems in Intuitionistic Fuzzy metric Space I

T. K. Samanta, Sumit Mohinta|arXiv (Cornell University)|Mar 15, 2011

Fixed Point Theorems Analysis参考文献 10被引用 4

一句话总结

本文建立了两类充分条件，用于证明在直觉模糊度量空间（IFMS）中，TS-IF压缩映射具有唯一不动点，并引入了 $(\varepsilon,\lambda)$-IF一致局部压缩映射与 $\eta$-可链空间的概念，证明此类映射具有不动点。主要贡献在于：在不预先假设柯西序列的前提下，基于三角范数与三角余范数定义邻近性与非邻近性，建立了IFMS中严谨的不动点定理。

ABSTRACT

In this paper, first we have established two sets of sufficient conditions for a TS-IF contractive mapping to have unique fixed point in a intuitionistic fuzzy metric space. Then we have defined \,$(\,ε\,,\, λ\,)$\, IF-uniformly locally contractive mapping and \,$η\,-$\,chainable space, where it has been proved that the \,$(\,ε\,,\, λ\,)$\, IF-uniformly locally contractive mapping possesses a fixed point

研究动机与目标

• 在直觉模糊度量空间（IFMS）中，为TS-IF压缩映射存在唯一不动点建立充分条件。
• 在IFMS中定义并分析 $(\varepsilon,\lambda)$-IF一致局部压缩映射与 $\eta$-可链空间。
• 证明在不预先假设压缩序列是柯西序列的条件下，此类映射仍具有不动点。
• 通过更自然的压缩定义，推广巴拿赫不动点定理在直觉模糊度量空间中的情形。

提出的方法

• 使用三角范数与三角余范数定义TS-IF压缩映射，以建模点之间邻近性（$\mu$）与非邻近性（$\nu$）的程度。
• 使用连续三角范数 $\ast$ 与三角余范 $\diamond$，满足公理以确保IFMS中类似度量的行为。
• 建立迭代序列 $\{T^n x\}$，并通过证明对所有 $j < k$、$t > 0$ 及某个 $\varepsilon \in (0,1)$，有 $\mu(T^j x, T^k x, t) > \varepsilon$ 且 $\nu(T^j x, T^k x, t) < 1 - \varepsilon$，来证明该序列是柯西序列。
• 利用 $\mu$ 与 $\nu$ 关于 $t$ 变量的连续性，证明序列 $\{T^n x\}$ 在完备IFMS中收敛于极限 $\xi$。
• 证明映射 $T$ 是 $t$-一致连续的，因此 $T\xi = \lim T^{n+1}x = \xi$，意味着 $\xi$ 是不动点。
• 引入 $\eta$-可链空间与 $(\varepsilon,\lambda)$-IF一致局部压缩映射，证明在这些条件下不动点存在。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，TS-IF压缩映射在直觉模糊度量空间中具有唯一不动点？
• RQ2 能否在不预先假设压缩序列是柯西序列的前提下建立不动点定理，如以往研究中所做？
• RQ3 $\eta$-可链空间在确保IFMS中局部压缩映射存在不动点方面起到什么作用？
• RQ4 三角范数与三角余范的性质如何影响直觉模糊度量空间中迭代序列的收敛性？
• RQ5 $(\varepsilon,\lambda)$-IF一致局部压缩映射的概念能否用于推广IFMS中巴拿赫不动点定理？

主要发现

• 通过证明对所有 $t > 0$ 与 $j < k$，有 $\mu(T^j x, T^k x, t) > \varepsilon$ 且 $\nu(T^j x, T^k x, t) < 1 - \varepsilon$，其中 $\varepsilon \in (0,1)$，在不预先假设的前提下，证明了迭代序列 $\{T^n x\}$ 在直觉模糊度量空间中是柯西序列。
• 由于空间的完备性及 $\mu$ 与 $\nu$ 关于 $t$ 变量的连续性，序列 $\{T^n x\}$ 收敛于极限 $\xi$。
• 证明映射 $T$ 是 $t$-一致连续的，从而允许极限 $\xi$ 满足 $T\xi = \xi$，证明 $\xi$ 是不动点。
• 对于 $\eta$-可链空间中的 $(\varepsilon,\lambda)$-IF一致局部压缩映射，通过迭代序列的收敛性，确立了不动点的存在性。
• 与以往方法不同，该证明通过直接利用 $\mu$ 与 $\nu$ 在三角范数与三角余范作用下的结构，证明了柯西性质，避免了预先假设压缩序列是柯西序列。
• 在给定条件下，不动点是唯一的，因为迭代构造导致的极限与起始点 $x$ 无关。