[论文解读] On flat trigonometric sums and ergodic flow with simple Lebesgue spectrum

A. A. Prikhod’ko|arXiv (Cornell University)|Feb 15, 2010

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 22被引用 7

一句话总结

本文通过解决平展三角和上的解析问题，构造了具有简单Lebesgue谱的秩一流。利用单位模多项式和指数阶梯频率函数，证明了某些秩一流的谱测度等价于Lebesgue测度，从而解决了Banach关于此类系统存在简单Lebesgue谱的问题。

ABSTRACT

A complex polynomial $P(z) = c_0 + c_1 z +...+ c_n z^n$ is called unimodular if $|c_j| = 1$, $j = 0,...,n$. Littlewood asked the question (1966) on how close a unimodular polynomial come to satisfying $|P(z)| \approx \sqrt{n+1}$ if $n \ge 1$? In this paper we show that for a given $0 < a < b$ and $\eps > 0$ there exist trigonometric sums $\cP(t) = n^{-1/2} \sum_{j=0}^{n-1} \exp(2πi tω(j))$ with a real frequency function $ω(j)$ which are $\eps$-flat on segment $[a,b]$ acording to the norm in $L^1([a,b])$ (as well as in $L^2([a,b])$). We apply this method to construct a dynamical system having simple spectrum and Lebesgue spectral type in the class of rank-one flows.

研究动机与目标

• 解决Banach关于存在具有简单Lebesgue谱的遍历R^d作用的问题。
• 构造谱类型为Lebesgue测度的秩一流。
• 证明在L^1和L^2范数下，区间[a,b]上存在ε-平展的三角和。
• 将平展多项式技术应用于秩一动力系统的谱理论。
• 验证所构造的流是遍历的，且在零处无谱原子。

提出的方法

• 构造三角和 P(t) = n^{-1/2} ∑_{j=0}^{n-1} exp(2πi t ω(j))，其中频率函数ω(j)为实数，以在[a,b]上实现L^1和L^2范数下的ε-平展性。
• 使用指数阶梯频率函数 ω_n(y) = m_n q_n / ε_n^2 (e^{ε_n y / q_n} - 1) 来定义流的动力学。
• 应用平展性引理（例如引理3.10）证明在区间(a_n, b_n)上 |P_n(t)|^2 ≈ 1，从而表明弱收敛于类似Lebesgue的密度。
• 使用广义Riesz积表示谱测度 σ_f = |f̂|^2 · ∏_n |P_n(t)|^2。
• 对参数 m_n, q_n, ε_n 施加条件，以确保 ∑_n b_n (ln m_n)^{1/2} / m_n^{1/4} < ∞，从而保证收敛到Lebesgue谱类型。
• 验证流的遍历性，以排除零处的谱原子，确保谱测度为纯Lebesgue测度。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否构造一个具有简单谱和Lebesgue谱类型的秩一流？
• RQ2 在L^1和L^2范数下，是否存在在区间[a,b]上ε-平展的三角和 P(t) = n^{-1/2} ∑_{j=0}^{n-1} exp(2πi t ω(j))？
• RQ3 在秩一流的背景下，是否可通过广义Riesz积实现等价于Lebesgue测度的谱测度？
• RQ4 参数 m_n, q_n, ε_n 的何种条件可保证Riesz积收敛到类似Lebesgue的密度？
• RQ5 所构造的流是否保持遍历性，从而确保零处无谱原子？

主要发现

• 本文构造了一个具有简单Lebesgue谱的秩一流，为Banach关于此类系统存在的问题提供了肯定回答。
• 对任意 0 < a < b 和 ε > 0，存在在[a,b]上于L^1和L^2范数下ε-平展的三角和P(t)。
• 所构造流的谱测度在R上等价于Lebesgue测度，且无原子，该结论由遍历性及Riesz积的收敛性所证实。
• 在参数约束 m_n ≤ h_n^{1/2−α}, h_n^{1+α} ≤ q_n, 且 ∑_n 1/m_n^{1/4−α} < ∞（其中 0 < α < 1/4）下，收敛条件 ∑_n b_n (ln m_n)^{1/2} / m_n^{1/4} < ∞ 成立。
• 频率函数 ω_n(y) = m_n q_n / ε_n^2 (e^{ε_n y / q_n} - 1) 确保了在区间(a_n, b_n)上 |P_n(t)|^2 的所需平展性。
• 谱测度 σ_f 由广义Riesz积 ∏_n |P_n(t)|^2 给出，该积弱收敛于一个等价于Lebesgue测度的密度 f(t) ∏_n Q_n(t)。