[论文解读] On form invariance of the Kirchhoff-Love plate equation

Lucas Pomot, S. Bourgeois+3 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2019

Advanced Materials and Mechanics参考文献 1被引用 7

一句话总结

本文提出了一种反向变换方法，用于在各向异性和非均匀板中设计用于弯曲波的柏拉图斗篷，无需引入非物理的面内体力或预应力。证明了当变换的Hessian矩阵为零时，基尔霍夫-洛夫板方程在一类变换下保持形式不变，从而实现了宽带、超宽带隐身，该结果通过中心频率为5000 Hz的Ricker脉冲的3D时域仿真得到验证。

ABSTRACT

We propose an alternative approach called backward transformation for the design of platonic cloaks, without resorting to in-plane body forces and pre-stresses, which can lead to unphysical features. It is shown that the Kirchhoff-Love equation for an anisotropic heterogeneous plate is actually form invariant for a class of transformations with a vanishing Hessian. This formalism is detailed and numerically validated with three-dimensional simulations in the time domain. Results published in the literature fall in the class of transformations proposed here.

研究动机与目标

• 为克服先前正向变换方法在设计柏拉图斗篷时需要非物理面内体力和预应力的局限性。
• 建立基尔霍夫-洛夫板方程在特定几何变换下形式不变性的严格数学框架。
• 证明Hessian矩阵为零的变换可保持四阶板方程的形式不变，从而实现物理上可实现的斗篷设计。
• 通过全3D时域仿真数值验证所提方法在弯曲波传播中的性能。
• 在统一且数学一致的形式体系中，整合并推广先前关于柏拉图隐身的实验与理论结果。

提出的方法

• 提出一种反向变换方法，反转了传统变换声学中使用的正向映射，避免了对面内体力的需求。
• 以张量形式推导变换后的基尔霍夫-洛夫方程，表明当变换的Hessian矩阵为零时，方程保持形式不变。
• 应用条件 $\Gamma = 0$（Hessian矩阵为零）以识别保持原始方程结构的一类变换。
• 采用爱因斯坦求和约定，并以弹性张量分量 $D_{ijkl}$ 的形式推导变换后的方程，其中 $N_{kl}$ 和 $S_l$ 项由几何变换的梯度产生。
• 采用3D有限元时域仿真框架，利用中心频率为5000 Hz的Ricker脉冲激励，数值验证斗篷性能。
• 对比线性与非线性变换，表明当 $R_{\text{ext}} \gg R_{\text{int}}$ 时，Hessian系数随 $R_{\text{ext}}$ 增大而减小，从而提升斗篷效率。

实验结果

研究问题

• RQ1 基尔霍夫-洛夫板方程是否能在不引入非物理面内力的情况下，于几何变换下保持形式不变？
• RQ2 哪一类变换能保持四阶板方程的形式？何种数学条件可确保这种不变性？
• RQ3 与先前的正向变换方法相比，该反向变换方法在物理可实现性与斗篷性能方面有何差异？
• RQ4 变换的非线性程度及纵横比（$R_{\text{ext}}/R_{\text{int}}$）对Hessian矩阵及斗篷效率有何影响？
• RQ5 能否在此形式体系下实现各向异性板中的超宽带隐身？与单色设计相比有何优势？

主要发现

• 基尔霍夫-洛夫板方程在Hessian矩阵为零的变换下保持形式不变，从而可在不引入非物理面内力的情况下实现物理上可实现的斗篷设计。
• 从Brun等（2014）提出的简化斗篷模型（基于 $R_{\text{ext}} \gg R_{\text{int}}$ 假设）在所提框架中自然重现。
• 采用中心频率为5000 Hz的Ricker脉冲进行的3D时域仿真结果证实了超宽带隐身效果，波前以准理想平面波形式出射。
• 观察到明显的反向散射分量，可能源于将刚度张量转换为弹性张量时对 $C_{13} = C_{23} = 0$ 的近似处理。
• 当 $R_{\text{ext}}$ 并未显著大于 $R_{\text{int}}$ 时，非线性变换可优于线性变换，因为非线性情况下的Hessian系数更小。
• 该方法保持了互易性，并避免了刚度张量中出现非物理本征值，而此前方法需将零本征值解释为预应力。