[论文解读] On formula to compute primes and the nth prime

Issam Kaddoura, Samih Abdul-Nabi|arXiv (Cornell University)|Feb 18, 2012

Algorithms and Data Compression参考文献 9被引用 14

一句话总结

本文提出了一种新颖的素性测试方法，并利用该方法推导出π(n)（素数计数函数）的公式，从而实现对不超过n的素数个数的计算。此外，本文还给出了第n个素数的闭式表达式，并提出一种算法以找出任意给定数之后的下一个素数，为数论中显式生成与计数素数提供了理论上的进展。

ABSTRACT

In this paper, we propose a new primality test, and then we employ this test to find a formula for π that computes the number of primes within any interval. We finally propose a new formula that computes the nth prime number as well as the next prime for any given number

研究动机与目标

• 开发一种新的素性测试方法，以高效判断一个数是否为素数。
• 基于所提出的素性测试，推导出π(n)（小于或等于n的素数个数）的公式。
• 基于素数计数函数，构建第n个素数的闭式表达式。
• 提供一种算法化方法，用于计算任意给定整数之后的下一个素数。
• 为数论中的素数生成与计数贡献一种理论上显式的公式。

提出的方法

• 作者提出一种基于特定算术条件的新型素性测试方法，涉及模运算和阶乘类表达式。
• 该素性测试用于定义一个特征函数，以识别给定区间内的素数。
• 素数计数函数π(n)被表述为对该特征函数的求和，从而有效计算不超过n的素数个数。
• 基于推导出的π(n)公式，通过反函数方法计算第n个素数，即求解满足π(n) = k的最小n。
• 该方法包括一种程序化步骤，通过迭代使用素性测试，对连续整数进行检验，以计算任意给定数之后的下一个素数。
• 该方法依赖于数论恒等式和求和技巧，将素数生成与计数以闭式表达。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否构建一种新型素性测试方法，以实现对素数个数和位置的显式计算？
• RQ2 是否可能基于一种新颖的素性判别准则，推导出π(n)（小于或等于n的素数个数）的闭式表达式？
• RQ3 能否基于素数计数函数，通过公式直接计算第n个素数？
• RQ4 如何设计一种确定性算法，以计算任意给定整数之后的下一个素数？
• RQ5 如何利用数论恒等式构建素数生成与计数的显式公式？

主要发现

• 本文成功基于特定算术条件构建了一种新型素性测试方法，能够识别素数。
• 利用该素性测试，推导出π(n)（小于或等于n的素数个数）的公式，从而实现对素数个数的显式计算。
• 通过反演素数计数函数，构建了第n个素数的闭式表达式。
• 该方法提供了一种确定性算法，通过迭代使用素性测试，计算任意给定整数之后的下一个素数。
• 研究结果为显式素数计算提供了理论贡献，尽管未分析计算效率。
• 这些公式在数论框架内数学上有效，但其实际应用受限于复杂度。