[论文解读] On Foundation of the Generalized Nambu Mechanics (Second Version)

Leon A. Takhtajan|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2008

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 9被引用 33

一句话总结

本文通过引入n ≥ 3个可观测量的高阶广义化泊松括号——南布括号，建立了广义南布力学的基础框架。它推导了南布-哈密顿方程，证明了基本恒等式作为保证南布括号对n ≥ 3个可观测量闭合的一致性条件，并引入了南布-泊松流形，其几何刚性高于泊松流形，同时发展了涉及环路动力学的作用量原理，并讨论了量子化方法。

ABSTRACT

We outline basic principles of canonical formalism for the Nambu mechanics—a generalization of Hamiltonian mechanics proposed by Yoichiro Nambu in 1973. It is based on the notion of Nambu bracket, which generalizes the Poisson bracket— a “binary” operation on classical observables on the phase space, to the “multiple” operation of higher order n ≥ 3. Nambu dynamics is described by the phase flow given by Nambu-Hamilton equations of motion—a system of ODE’s which involves n − 1 “Hamiltonians”. We introduce the fundamental identity for the Nambu bracket—a generalization of the Jacobi identity, as a consistency condition for the dynamics. We show that Nambu bracket structure defines an hierarchy of infinite families of “subordinated” structures of lower order, including Poisson bracket structure, which satisfy certain matching conditions. The notion of Nambu bracket enables to define Nambu-Poisson manifolds—phase spaces for the Nambu mechanics, which turn out to be more ‘rigid” than Poisson manifolds—phase spaces for the Hamiltonian mechanics. We introduce the analog of the action form and the action principle for the Nambu mechanics. In its formulation dynamics of loops (n −2-dimensional chains for the general n-ary case) naturally appears. We discuss several approaches to the quantization of

研究动机与目标

• 将南布力学的正则结构形式化为经典哈密顿力学的推广，超越二元泊松括号的范畴。
• 将基本恒等式识别为确保南布括号对n ≥ 3个可观测量闭合的一致性条件。
• 证明南布括号结构在满足匹配条件时，可生成无限阶的低阶相容结构层级，包括泊松括号。
• 将南布-泊松流形定义为南布动力学的相空间，并与泊松流形相比分析其几何刚性。
• 为南布力学开发一个作用量原理，其中动力学自然涉及(n−2)维链（环路），从而扩展经典变分原理。

提出的方法

• 将南布括号引入为经典可观测量上的n元多重线性、反对称运算，作为泊松括号的高阶推广。
• 推导涉及n−1个哈密顿量的南布-哈密顿运动方程，形成描述相空间流的常微分方程组。
• 将南布括号的基本恒等式确立为一致性的必要条件，推广了雅可比恒等式。
• 证明南布括号可诱导出一系列从属结构，包括满足相容条件的泊松括号。
• 将南布-泊松流形定义为配备南布括号的光滑流形，其几何约束强于泊松流形。
• 提出南布力学的作用形式及其作用量原理的类比，其中动力学自然涉及(n−2)维链状（环路）结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何一致地定义南布括号，使其作为n ≥ 3个可观测量的泊松括号高阶推广？
• RQ2 何种代数恒等式可确保南布动力学的一致性，其如何推广雅可比恒等式？
• RQ3 南布-泊松流形在几何上与泊松流形有何不同，其施加了何种约束？
• RQ4 南布括号以何种方式生成包括泊松括号在内的低阶结构层级？
• RQ5 如何为南布力学制定变分原理，(n−2)维链在该形式化中扮演何种角色？

主要发现

• 南布括号满足一个基本恒等式，该恒等式推广了雅可比恒等式，确保了南布-哈密顿运动方程的一致性。
• 南布括号结构诱导出无限阶的相容低阶结构层级，包括泊松括号，且它们之间存在特定的匹配条件。
• 由于n元括号施加的更强约束，南布-泊松流形在几何上比泊松流形更具刚性。
• 南布力学的作用量原理自然涉及(n−2)维链的动力学，将经典点粒子作用量推广至扩展物体。
• 该框架为南布力学的量子化提供了基础，尽管本文未完成完整的量子化程序。