[论文解读] On fractional smoothness and $L_p$-approximation on the Wiener space

Stefan Geiß, Anni Toivola|arXiv (Cornell University)|Jun 23, 2012

Stochastic processes and financial applications被引用 3

一句话总结

本文建立了高斯贝索夫空间中的分数阶光滑性（通过实插值和黎曼-刘维尔分数阶积分定义）与维纳空间上泛函的热延拓正则性之间的联系。该框架被应用于分析 $d$-维几何布朗运动上的 stochastic 积分的 $L_p$-逼近，其中 $2 \leq p < \infty$，从而为逼近误差提供了新的正则性估计。

ABSTRACT

We consider Gaussian Besov spaces obtained by real interpolation and Riemann-Liouville operators of fractional integration on the Gaussian space and relate the fractional smoothness of a functional to the regularity of its heat extension. The results are applied to study an approximation problem in $L_p$ for $2\le p<\infty$ for stochastic integrals with respect to the $d$-dimensional (geometric) Brownian motion.

研究动机与目标

• 通过实插值和黎曼-刘维尔分数阶积分算子表征维纳空间上高斯贝索夫空间中的分数阶光滑性。
• 将维纳空间上泛函的光滑性与它们的热延拓的正则性联系起来。
• 将光滑性-正则性对应关系应用于研究 $2 \leq p < \infty$ 时 stochastic 积分的 $L_p$-逼近。

提出的方法

• 利用 $L_p$-空间之间的实插值来定义维纳空间上的高斯贝索夫空间。
• 应用黎曼-刘维尔分数阶积分算子来表示泛函的分数阶光滑性。
• 分析泛函的热延拓，以将光滑性特征与空间正则性联系起来。
• 建立嵌入定理，将贝索夫范数与热延拓的索伯列夫型正则性联系起来。
• 将所得的正则性估计应用于控制 stochastic 积分在 $L_p$-范数下的逼近误差。
• 使用 $d$-维几何布朗运动作为 stochastic 积分的底层概率空间。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过维纳空间上的黎曼-刘维尔分数阶积分表征高斯贝索夫空间中的分数阶光滑性？
• RQ2 一个泛函的光滑性与其热延拓的正则性之间存在何种关系？
• RQ3 一个泛函的光滑性如何影响 $2 \leq p < \infty$ 时 stochastic 积分的 $L_p$-逼近误差？
• RQ4 能否利用泛函的热延拓推导出 $L_p$-范数下逼近误差的定量界？
• RQ5 实插值在定义与维纳空间上 stochastic 积分相关的光滑性类中起到何种作用？

主要发现

• 高斯贝索夫空间中的分数阶光滑性通过实插值和黎曼-刘维尔算子表征，将泛函的光滑性与热延拓的解析性质联系起来。
• 泛函的热延拓继承了其分数阶光滑性带来的正则性，从而使得在维纳空间设定下可以使用索伯列夫型估计。
• 对于 $2 \leq p < \infty$，stochastic 积分的 $L_p$-逼近误差受被积函数的贝索夫范数控制，反映了该泛函的光滑性。
• 该框架为由几何布朗运动驱动的随机过程在 $L_p$-范数下的逼近误差估计提供了一项新的分析工具。
• 通过在维纳空间上引入光滑性-正则性对应关系，该结果将经典逼近理论拓展到了随机设定。