[论文解读] On fully mixed and multidimensional extensions of the Caputo and Riemann-Liouville derivatives, related Markov processes and fractional differential equations

Vassili N. Kolokoltsov|arXiv (Cornell University)|Jan 16, 2015

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 45被引用 40

一句话总结

本文通过概率框架引入了Caputo和Riemann-Liouville分数阶导数的完全混合及多维扩展，将其解释为在边界处被中断的Lévy过程的生成元。利用具有边界阻塞动力学的马尔可夫过程，建立了相关分数阶微分方程的适定性，通过随机分析统一并推广了先前结果，并为β ≤ 1的情形提供了显式解。

ABSTRACT

From the point of view of stochastic analysis the Caputo and Riemann-Liouville derivatives of order $\al \in (0,2)$ can be viewed as (regularized) generators of stable L\'evy motions interrupted on crossing a boundary. This interpretation naturally suggests fully mixed, two-sided or even multidimensional generalizations of these derivatives, as well as a probabilistic approach to the analysis of the related equations. These extensions are introduced and some well-posedness results are obtained that generalize, simplify and unify lots of known facts. This probabilistic analysis leads one to study a class of Markov processes that can be constructed from any given Markov process in $\R^d$ by blocking (or interrupting) the jumps that attempt to cross certain closed set of 'check-points'.

研究动机与目标

• 通过基于概率解释的方法，引入完全混合及多维扩展的分数阶导数，以推广经典分数阶导数。
• 利用随机分析统一并简化已知的分数阶微分方程结果。
• 通过在边界处被中断的马尔可夫过程，建立分数阶方程适定性的严格框架。
• 为涉及阶数β ≤ 1的导数的方程建立显式解。
• 启动一种由阻塞穿越R^d中闭合检查点集的跳跃所构造的马尔可夫过程的理论。

提出的方法

• 将阶数α ∈ (0,2)的Caputo和Riemann-Liouville导数解释为在穿越边界时被正则化的稳定Lévy运动的生成元。
• 通过阻塞试图穿越闭合检查点集的跳跃，在R^d中引入一类马尔可夫过程，推广边界中断动力学。
• 使用Dynkin的局部鞅公式和Feller过程理论，推导边界值问题的适定性结果。
• 应用随机微积分处理表示被中断跳跃动力学的算子A和Â[a,b]，其中ν(x,y)为跳跃密度，满足矩条件与正则性条件。
• 通过分部积分推导分数阶导数的等价积分表示，建立解析形式与概率形式之间的联系。
• 在ν和边界退出概率满足光滑性与单调性假设的条件下，证明方程在λ = 0时的广义解与经典解的唯一性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用概率原理自然地将Caputo和Riemann-Liouville导数扩展到完全混合、双边或高维情形？
• RQ2 边界中断在定义广义分数阶导数及其相关随机过程中的作用是什么？
• RQ3 在何种条件下，表示被中断Lévy过程的算子能生成唯一的Feller过程？
• RQ4 阶数β ≤ 1的分数阶微分方程的解如何与被中断过程的退出分布及转移核相关联？
• RQ5 能否为涉及这些扩展导数的边界值问题推导出显式解？

主要发现

• 当β ∈ (0,1)时，Caputo导数Dβ_{a+}⋆f(x)等于f − f(a)的Riemann-Liouville导数，二者相差一个涉及f(a)/(Γ(1−β)(x−a)^β)的边界校正项。
• 当β ∈ (1,2)时，Caputo导数包含一个二阶正则化项，满足Dβ_{a+}⋆f(x) = Dβ_{a+}[f − f(a) − f′(a)(·−a)](x)减去边界校正项。
• 当a = −∞且f为光滑、有界且可积时，右侧行列分数阶导数dβ/dxβ f(x)等于Dβ_{−∞+}f(x)与Dβ_{−∞+}⋆f(x)的共同值，由包含f(x−z)−f(x)或f(x−z)−f(x)+f′(x)z的积分表达。
• 在ν(x,y)满足正则性与单调性条件时，定义在[a,b]上的算子Â[a,b]生成一个Feller过程，确保相关SDE存在唯一强解。
• 在假设退出概率P(Xx(τ) ≤ a)与P(Xx(τ) ≥ b)属于C²[a,b]且核H(x,dy)具有弱可微性条件下，公式(91)为λ = 0的边界值问题提供唯一经典解。
• 即使缺乏经典解的正则性，公式(91)仍能为λ = 0的问题提供唯一广义解，从而扩展了该方法的适用范围。