[论文解读] On Functional CLT for Reversible Markov Chains with nonlinear growth of the Variance

Martial Longla, Costel Peligrad+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 13, 2011

Markov Chains and Monte Carlo Methods参考文献 17被引用 26

一句话总结

本文在可逆马尔可夫链中建立了功能中心极限定理（功能性CLT）的充分条件，当部分和的方差非线性增长为 $nh(n)$ 时，其中 $h$ 是一个缓慢变化的函数。通过一种新颖的前向-后向鞅分解和最大不等式，作者证明了归一化部分和的条件分布收敛意味着弱收敛到布朗运动，将经典结果推广至线性方差增长之外的情形。

ABSTRACT

In this paper we study the functional central limit theorem for stationary Markov chains with self-adjoint operator and general state space. We investigate the case when the variance of the partial sum is not asymptotically linear in n; and establish that conditional convergence in distribution of partial sums implies functional CLT. The main tools are maximal inequalities that are further exploited to derive conditions for tightness and convergence to the Brownian motion.

研究动机与目标

• 将功能中心极限定理推广至可逆马尔可夫链，其中部分和的方差以 $nh(n)$ 的形式非线性增长，$h$ 为缓慢变化函数。
• 建立归一化部分和的条件分布收敛蕴含弱收敛到布朗运动的条件。
• 基于三角形前向-后向鞅分解，开发新的最大不等式，以处理非线性方差增长。
• 提供原始马尔可夫链序列的充分条件，确保功能中心极限定理成立，超越标准的线性方差假设。
• 在可逆过程且方差缓慢变化的背景下，推广先前关于条件CLT和功能CLT的结果。

提出的方法

• 利用前向-后向鞅分解，将部分和 $S_n$ 表示为一个鞅与一个余项之和。
• 基于前向-后向分解的三角形结构，推导新的最大不等式，以控制余项。
• 应用紧致性准则，证明归一化过程 $S_{[nt]}/\text{std}(S_n)$ 的弱收敛性，其极限为布朗运动。
• 利用可逆链中 $\sigma_n^2 = nh(n)$ 与 $\|\mathbb{E}_0(S_n)\|_2 = o(\sigma_n)$ 的等价性，简化分析。
• 应用稳定分布吸引域理论及重尾i.i.d.序列的极限定理，构造示例。
• 利用链的再生结构分解求和，并控制归一化中的误差项。

实验结果

研究问题

• RQ1 当可逆马尔可夫链的部分和方差以 $nh(n)$ 形式非线性增长，且 $h$ 为缓慢变化函数时，功能中心极限定理在何种条件下成立？
• RQ2 在功能设定下，归一化部分和的条件分布收敛是否能蕴含弱收敛到布朗运动？
• RQ3 在非线性方差增长下，为控制前向-后向鞅分解中的余项，需要哪些新的最大不等式？
• RQ4 如何利用前向-后向鞅分解在功能CLT框架中推导紧致性和收敛性结果？
• RQ5 该结果对特定模型（如具有缓慢变化方差的Metropolis-Hastings算法）有何影响？

主要发现

• 对于满足 $\sigma_n^2 = nh(n)$ 且 $h$ 为缓慢变化函数的可逆马尔可夫链，若 $S_n / \sigma_n$ 的条件分布收敛，则功能中心极限定理成立。
• 当 $\|\mathbb{E}_0(S_n)\|_2 = o(\sigma_n)$ 时，功能中心极限定理成立，该条件与 $\sigma_n^2 = nh(n)$ 等价。
• 作者证明了 $S_n / b_n \Rightarrow N(0,1)$，其中 $b_n^2 \sim 2n \ln n$，表明以 $\sigma_n$ 归一化时，极限分布为方差为 $1/2$ 的非标准正态分布。
• 本文证明了 $W_n(t) \Rightarrow 2^{-1/2} W(t)$，其中 $W_n(t)$ 为归一化过程，$W(t)$ 为标准布朗运动。
• 该方法成功将功能中心极限定理推广至经典线性方差情形之外，为包含重尾增量的Metropolis-Hastings算法等模型提供了适用框架。
• 构造了一个示例，其中 $\sigma_n^2 \sim 2n \ln n$，归一化和收敛于方差为 $1/2$ 的正态分布，验证了理论结果。