[论文解读] On functions taking only prime values

Zhi‐Wei Sun|arXiv (Cornell University)|Feb 29, 2012

Analytic Number Theory Research参考文献 20被引用 3

一句话总结

本文引入了新颖的数论函数，通过多项式序列的模互异性条件，仅生成素数。证明了确保表达式 $2k(k-1) \mod m$ 在 $k = 1,\dots,n$ 范围内两两不同的最小模 $m$，即为大于 $2n-2$ 的最小素数，从而通过二次与线性形式在模运算下的约束，为素数提供了新的理论表征。

ABSTRACT

For n=1,2,3,... define S(n) as the smallest integer m>1 such that those 2k(k-1) mod m for k=1,...,n are pairwise distinct; we show that S(n) is the least prime greater than 2n-2 and hence the value set of the function S(n) is exactly the set of all prime numbers. For every n=4,5,... we prove that the least prime p>3n with 3|p-1 is just the least positive integer m such that 18k(3k-1) (k=1,...,n) are pairwise distinct modulo m. For d=4,6,12 and n=3,4,...., we prove that the least prime p>2n-2 with p=-1 (mod d) is the smallest integer m such that those (2k-1)^d for k=1,...,n are pairwise distinct modulo m. We also pose several challenging conjectures on primes. For example, we find a surprising recurrence for primes, namely, for every n=10,11,... the (n+1)-th prime p_{n+1} is just the least positive integer m such that 2s_k^2 (k=1,...,n) are pairwise distinct modulo m where s_k = sum_{j=1}^k(-1)^{k-j}p_j. We also conjecture that for any positive integer m there are consecutive primes p_k,...,p_n (k

研究动机与目标

• 通过模互异性条件构造仅输出素数的数论函数。
• 表征使得 $\binom{2k}{k}$、$k!$、$k(k-1)$ 或 $2k(k-1)$ 等序列在模 $m$ 下两两不同的最小模 $m > 1$，并证明该模数恒为素数。
• 通过证明对于特定多项式 $f$，确保模 $m$ 下值互异的最小模数产生素数或素数幂，扩展先前关于 $D_f(n)$ 的工作。
• 提出并支持关于线性递推序列与本原根通过最小互异性模数与素数输出之间关联的猜想。

提出的方法

• 定义 $S(n)$ 为满足 $k = 1,\dots,n$ 时 $2k(k-1) \mod m$ 两两不同的最小 $m > 1$，并证明 $S(n)$ 等于大于 $2n-2$ 的最小素数。
• 定义 $T(n)$ 为满足 $k = 1,\dots,n$ 时 $k(k-1) \mod m$ 两两不同的最小 $m > 1$，并证明 $T(n) = \min\{m \geq 2n-1 : m \text{ 是素数或 } 2 \text{ 的幂}\}$。
• 利用二次剩余、勒让德符号及递推序列（如卢卡斯序列）的性质，分析模 $m$ 下的互异性，并将其与素性联系起来。
• 证明对于 $f(k) = k(dk - 1)$，确保模 $m$ 下 $n$ 个不同值的最小 $m$ 为不小于 $n$ 的最小 $d$ 的幂，其中 $d \in \{2,3\}$。
• 分析涉及欧拉数 $E_{2k}$ 的序列，表明 $E_{2k} \mod m$ 的最小互异性模数为 2 的幂或素数的平方，仅有少数例外。
• 利用斯特恩同余式及卢卡斯序列的性质，推导 $v_k(A,1) \mod m$ 互异的条件，进而提出关于最小模数素性的猜想。

实验结果

研究问题

• RQ1 基于确保多项式序列模 $m$ 下值互异的最小模 $m$ 构造的函数，是否能仅生成素数？
• RQ2 使得 $2k(k-1) \mod m$ 在 $k = 1,\dots,n$ 范围内两两不同的最小 $m > 1$ 是否恒为素数？若是，是哪一个素数？
• RQ3 对于序列如 $k(k-1) \mod m$，确保 $n$ 个不同值的最小 $m$ 是否等于不小于 $2n-1$ 的最小素数或 $2$ 的幂？
• RQ4 对于 $k(dk-1) \mod m$ 的最小互异性模数是否产生 $d$ 的幂？在何种条件下成立？
• RQ5 能否表征确保 $E_{2k} \mod m$ 值互异的最小模数？何时该模数为素数？

主要发现

• 函数 $S(n)$ 定义为满足 $k = 1,\dots,n$ 时 $2k(k-1) \mod m$ 两两不同的最小 $m > 1$，其值等于大于 $2n - 2$ 的最小素数。
• 函数 $T(n)$ 定义为满足 $k = 1,\dots,n$ 时 $k(k-1) \mod m$ 两两不同的最小 $m > 1$，其值等于不小于 $2n - 1$ 的最小整数 $m$，且该 $m$ 为素数或 $2$ 的幂。
• 当 $d \in \{2,3\}$ 时，使得 $k(dk - 1) \mod m$ 两两不同的最小 $m$ 为不小于 $n$ 的最小 $d$ 的幂，即 $d^{\lceil \log_d n \rceil}$。
• 当 $n \geq 4$ 时，使得 $18k(3k-1) \mod m$ 两两不同的最小 $m$ 为大于 $3n$ 且满足 $p \equiv 1 \pmod{3}$ 的最小素数 $p$。
• 当 $n \geq 5$ 时，使得 $4k(4k-1) \mod m$ 两两不同的最小 $m$ 为大于 $(8n - 4)/3$ 且满足 $p \equiv 1 \pmod{4}$ 的最小素数 $p$。
• 当 $n \geq 6$ 时，使得 $4k(4k+1) \mod m$ 两两不同的最小 $m$ 为大于 $(8n - 2)/3$ 且满足 $p \equiv -1 \pmod{4}$ 的最小素数 $p$。