[论文解读] On Fuzzy Bi-ideals and Fuzzy Quasi Ideals in Gamma-Semigroups

Sujit Kumar Sardar, Samit Kumar Majumder+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 25, 2011

Fuzzy and Soft Set Theory参考文献 19被引用 4

一句话总结

本文引入了Γ-半群中的模糊拟理想，将模糊理想理论扩展至更一般化的经典理想结构。通过模糊拟理想与双理想幂等性的特征刻画了正则与内正则Γ-半群，证明了Γ-半群当且仅当每个模糊拟理想都是幂等的，当且仅当其为正则与内正则的。

ABSTRACT

The purpose of this paper is to investigate some properties of fuzzy ideals and fuzzy bi-ideals in gamma-semigroups and to introduce the notion of fuzzy quasi ideals in gamma-semigroups. Here we also characterize a regular gamma-semigroup in terms of fuzzy quasi ideals.

研究动机与目标

• 通过引入模糊拟理想的概念，将模糊理想理论扩展至Γ-半群。
• 研究Γ-半群中模糊理想、模糊双理想与模糊(1,2)-理想的相关性质。
• 利用模糊理想理论条件刻画左/右简单、双面、正则与内正则Γ-半群等代数结构。
• 以模糊拟理想为工具，建立正则与内正则Γ-半群的特征刻画。

提出的方法

• 使用如下条件定义Γ-半群中的模糊拟理想：对所有a ∈ S，若a = bαs且a = tβc，则μ(a) ≥ min{μ(b), μ(c)}。
• 使用复合运算μ∘ν，定义为(μ∘ν)(x) = sup_{x = yγz} min{μ(y), ν(z)}，用于模糊子集。
• 证明：模糊子集μ是模糊拟理想当且仅当(χ∘μ) ∩ (μ∘χ) ⊆ μ，其中χ为特征函数。
• 建立模糊拟理想幂等性与Γ-半群正则性及内正则性的等价关系。
• 应用该特征刻画，证明：每个模糊拟理想都是幂等的当且仅当Γ-半群既是正则的也是内正则的。
• 利用已知的模糊双理想结果，并将其推广至Γ-半群背景，以推导结构等价性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在Γ-半群的背景下，如何将拟理想的概念模糊化？
• RQ2 以模糊拟理想为条件，Γ-半群正则与内正则的充要条件是什么？
• RQ3 Γ-半群中模糊双理想与模糊拟理想之间有何关系？
• RQ4 哪些Γ-半群的结构性质可通过模糊理想幂等性来刻画？
• RQ5 能否通过模糊拟理想将半群正则性的特征刻画推广至Γ-半群？

主要发现

• Γ-半群S的模糊子集μ是模糊拟理想，当且仅当对所有x ∈ S，若x = bαs且x = tβc，则μ(x) ≥ min{μ(b), μ(c)}。
• 与S的拟理想Q相关的模糊拟理想C_Q满足C_Q ∘ C_Q = C_Q，当且仅当Q = QΓQ。
• Γ-半群S是正则且内正则的，当且仅当S的每个模糊拟理想都是幂等的。
• 在正则且内正则的Γ-半群中，每个模糊双理想都是幂等的，即μ∘μ = μ。
• 模糊拟理想类在Γ-半群中严格推广了模糊双理想类。
• Γ-半群S是正则且内正则的，当且仅当每个模糊双理想都是幂等的，且这与每个模糊拟理想都是幂等的等价。