[论文解读] On $G$--equivariant modular categories

Alexander Kirillov|ArXiv.org|Jan 12, 2004

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 13被引用 53

一句话总结

本文提出了一种 G-等变模张量范畴框架，以推广 rational conformal field theory 的 orbifold 模型，通过一个 G-等变融合范畴 C 定义了一个 orbifold 范畴 C/G。关键贡献在于通过扩展 Verlinde s-矩阵的非退化性来表征模性，证明了 C 是模范畴当且仅当 C/G 是模范畴，并通过 s-矩阵显式给出了融合乘积与卷积乘积之间的关系公式。

ABSTRACT

In this paper, we study $G$-equivariant tensor categories for a finite group $G$. These categories were introduced by Turaev under the name of $G$-crossed categories; the motivating example of such a category is the category of twisted modules over a vertex operator algebra $V$ with a finite group of automorphisms $G$. We discuss the notion of "orbifold quotient" of such a category (in the example above, this quotient is the category of modules over the subalgebra of invariants $V^G$). We introduce an extended Verlinde algebra for a $G$-equivariant tensor category and give a simple description of the Verlinde algebra of the orbifold category in terms of the extended Verlinde algebra of the original category. We define an analog of $s,t$ matrices for the extended Verlinde algebra and show that if $s$ is invertible, then these matrices define an action of $SL_2(Z)$ on the extended Verlinde algebra. We also show that the $s$-matrix interchanges tensor product with a much simpler product ("convolution product"), which can be used to compute the tensor product multiplicities.

研究动机与目标

• 使用群作用为 rational conformal field theory 中的 orbifold 模型发展一种数学形式化框架。
• 定义一个 G-等变模张量范畴，将标准模范畴推广至包含有限群对称性的范畴。
• 建立原始范畴 C 与其实现 orbifold 商 C/G 的模性之间的对应关系。
• 通过非交换扩展 Verlinde 代数，将 Verlinde 公式推广至 G-等变设置。
• 证明 C 的模性与 C/G 的模性等价，其结果对未扭 sector C1 有重要启示。

提出的方法

• 将 G-等变融合范畴定义为带有群作用的 G-分次刚性辫子张量范畴，推广 Turaev 的 G-交叉范畴。
• 将 orbifold 范畴 C/G 构造为商融合范畴，证明当 C 是扭 V-模范畴时，其对应于 V G-模。
• 引入扩展 Verlinde 代数 eV(C)，作为无极点环面的通常 Verlinde 代数的非交换推广。
• 为 eV(C) 定义 s-矩阵，并证明当其非退化时，s-矩阵给出 SL2(Z) 作用，从而定义一个模 G-等变范畴。
• 利用双线性型与 s-矩阵，建立张量积 ⊗ 与卷积积 ∗ 之间的关系，证明 s-矩阵在两种代数结构之间实现 intertwining。
• 通过 s-矩阵的可逆性与 Frobenius-Perron 维数的性质，证明 C/G 的模性蕴含 C 的模性，反之亦然。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，G-等变融合范畴 C 是模范畴，且其与 orbifold 商 C/G 的模性有何关系？
• RQ2 Verlinde 代数如何推广至 G-等变设置？s-矩阵在此推广中起什么作用？
• RQ3 s-矩阵如何关联扩展 Verlinde 代数中非交换张量积与卷积积？
• RQ4 C1 或 C/G 的模性是否蕴含整个 G-等变范畴 C 的模性？
• RQ5 s-矩阵能否用于计算 G-等变设置下的融合规则，特别是在 G 为阿贝尔群时？

主要发现

• G-等变融合范畴 C 是模范畴当且仅当其 orbifold 范畴 C/G 是模范畴，建立了原始范畴与商范畴模性之间的强等价关系。
• 扩展 Verlinde 代数 eV(C) 是非交换的，s-矩阵在 eV(C) 上的两个代数结构（张量积 ⊗ 与卷积积 ∗）之间给出一个同构。
• s-矩阵满足 s(x ⊗ y) = D s(y) ∗ s(x) 与 s(x ∗ y) = (1/D) s(x) ⊗ s(y)，将 Verlinde 公式推广至 G-等变设置。
• 当 G 为阿贝尔群且上同调类平凡时，卷积积 ∗ 变为交换的，使得 s-矩阵能以类似于标准 Verlinde 公式的方式对角化融合规则。
• Frobenius-Perron 维数满足 p+(C) = |G| · p+(C/G) 与 p−(C) = |G| · p−(C/G)，建立了原始范畴与 orbifold 范畴维数之间的联系。
• 若 C1 = Vec，则 C 与某个 ω ∈ H3(G, C×) 的 twisted G-分次向量空间范畴 GVecω 作为 monoidal 等价，从而在平凡未扭 sector 中实现了分类。