[论文解读] On Gaps Between Primitive Roots in the Hamming Metric

Rainer Dietmann, Christian Elsholtz+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 3, 2012

Analytic Number Theory Research参考文献 22被引用 4

一句话总结

本文研究了整数与模素数 $p$ 的本原根之间的汉明距离，证明了任意整数 $n \in [1,p]$ 可通过翻转至多 $0.11002786\ldots r$ 个比特转换为本原根，其中 $r$ 是 $p$ 的比特数。该结果改进了经典的 Burgess 估计，并对本原根与二次非剩余在汉明度量下的稀疏性与分布建立了更紧的界。

ABSTRACT

We consider a modification of the classical number theoretic question about the gaps between consecutive primitive roots modulo a prime $p$, which by the well-known result of Burgess are known to be at most $p^{1/4+o(1)}$. Here we measure the distance in the Hamming metric and show that if $p$ is a sufficiently large $r$-bit prime, then for any integer $n \in [1,p]$ one can obtain a primitive root modulo $p$ by changing at most $0.11002786...r$ binary digits of $n$. This is stronger than what can be deduced from the Burgess result. Experimentally, the number of necessary bit changes is very small. We also show that each Hilbert cube contained in the complement of the primitive roots modulo $p$ has dimension at most $O(p^{1/5+ε})$, improving on previous results of this kind.

研究动机与目标

• 在汉明度量下，研究将任意整数变换为模素数 $p$ 的本原根所需的最少翻转比特数。
• 通过使用汉明距离而非加法距离，改进经典 Burgess 估计 $p^{1/4+o(1)}$ 关于本原根间隙的界。
• 通过界定其最小汉明权重，分析本原根与二次非剩余的稀疏性。
• 研究完全包含在模 $p$ 本原根或二次非剩余补集中的希尔伯特立方的最大维数。
• 探讨这些界对二进制空间中此类数论集合分布与密度的影响。

提出的方法

• 使用围绕给定 $n$ 的半径为 $s$ 的汉明球内整数上的特征和估计，分析本原根的密度。
• 应用 [22] 和 [1] 的结果，对汉明邻域上的指数和进行界定，利用二元熵函数 $H(\gamma)$。
• 将 $\rho_0$ 定义为方程 $H(\rho) = 1/2$ 在 $[0, 1/2]$ 内的唯一解，该值确定了达到本原根的最优比特翻转阈值。
• 使用二元熵函数 $H(\gamma) = \frac{-\gamma\log\gamma - (1-\gamma)\log(1-\gamma)}{\log 2}$ 建模汉明球的大小。
• 应用 [2] 的最新结果，对二次非剩余的最小汉明权重 $w_p$ 进行界优化。
• 分析 $\mathbb{F}_p$ 中的希尔伯特立方 $\mathcal{H}(a_0; a_1, \dots, a_d)$，以界定避开本原根的立方最大维数 $F(p)$。

实验结果

研究问题

• RQ1 在广义黎曼假设下，是否可改进界 $\Delta_p \leq (\rho_0 + o(1))r$？
• RQ2 当 $x \to \infty$ 时，渐近密度 $f_i(x) = \frac{1}{\pi(x)}\#\{p \leq x : \Delta_p = i\}$ 是否收敛？
• RQ3 对所有素数 $p$，$\Delta_p$ 是否有界，还是随 $p$ 增大而增长？
• RQ4 对大多数素数是否成立 $w_p \leq 2$，即是否 $\lim_{x\to\infty} \frac{1}{\pi(x)} \sum_{p\leq x} w_p = \frac{3}{2}$？

主要发现

• 本文证明当 $p \to \infty$ 时有 $\Delta_p \leq (\rho_0 + o(1))r$，其中 $\rho_0 \approx 0.11002786$ 是方程 $H(\rho) = 1/2$ 的唯一根，显著优于经典 Burgess 估计 $p^{1/4+o(1)}$。
• 对于二次非剩余的最小汉明权重 $w_p$，建立了界 $w_p \leq (\vartheta_0 + o(1))r$，其中 $\vartheta_0 = \frac{1}{8\sqrt{e}} \approx 0.07581633$。
• 避开模 $p$ 本原根的希尔伯特立方最大维数 $F(p)$ 满足 $F(p) \leq p^{1/5 + o(1)}$，优于先前的 $12p^{1/4}$ 界。
• 计算证据表明，对大多数 $p \leq 10^6$，有 $\Delta_p = 2$，且在 $p \leq 3 \times 10^6$ 范围内仅有 24 个素数满足 $\Delta_p = 3$，无任何素数满足 $\Delta_p \geq 4$。
• 满足 $w_p = 1$ 的素数比例约为 $1/2$，满足 $W_p = 1$（即 2 是本原根）的比例约为 Artin 常数 $A \approx 0.3739558$，与理论预期一致。
• 在 GRH 下，$w_p$ 的界可改进为 $O(\log r)$，且 $W_p$ 可被 $O(\log r)$ 有界，表明可高效构造出保证包含本原根的集合。