[论文解读] On genera of Lefschetz fibrations and finitely presented groups

Ryoma Kobayashi|arXiv (Cornell University)|Mar 30, 2014

Geometric and Algebraic Topology参考文献 7被引用 3

一句话总结

本文提出了一个关于具有指定基本群的Lefschetz纤维丛的新显式构造，改进了Korkmaz对所需最小亏格的界限。证明了对于任意具有n个生成元和最大关系字节长度ℓ的有限生成群，当g ≥ 2n + ℓ − 1时，存在一个亏格为g的Lefschetz纤维丛，且对若干重要群类（包括辫群、映射类群、对称群和阿贝尔群）建立了紧致的亏 gen bounds。

ABSTRACT

It is known that every finitely presented group is the fundamental group of the total space of a Lefschetz fibration. In this paper, we give another proof which improves the result of Korkmaz. In addition, Korkmaz defined the genus of a finitely presented group. We also evaluate upper bounds for genera of some finitely presented groups.

研究动机与目标

• 提供一种新的显式构造方法，用于实现任意给定的有限生成群作为全空间基本群的Lefschetz纤维丛。
• 通过利用关系的字节长度，改进Korkmaz结果中关于此类纤维丛所需最小亏格的上界。
• 评估有限生成群的亏 gen，定义为具有该基本群的Lefschetz纤维丛的最小亏格。
• 为特定群类（包括辫群、双阿贝尔映射类群和对称群）建立紧致的上界与下界。
• 将亏 gen 界推广至自由阿贝尔群与有限循环群的直和。

提出的方法

• 通过曲面映射类群中的单值化分解来构造Lefschetz纤维丛。
• 利用曲面上的德恩扭转和曲线系，实现对应于群表示的单值化关系。
• 以映射类群中的W关系（W = 1）作为基础构造，再通过共轭和额外的德恩扭转进行修改。
• 引入一系列通过与固定曲线横截相交一次的曲线实现的单值化修改，从而强制相应环路在全空间基本群中成为平凡。
• 通过消失圈和单值化关系t_{c1}...t_{cn} = 1，推导出全空间基本群的表示。
• 应用引理2.2，推断出与消失圈横截相交一次的曲线在全空间基本群中成为平凡。

实验结果

研究问题

• RQ1 具有给定有限生成基本群的Lefschetz纤维丛的最小亏格是多少？
• RQ2 能否通过利用关系的字节长度，改进实现给定有限生成群所需亏格的上界？
• RQ3 经典群（如辫群、对称群和映射类群）的精确亏 gen 界是什么？
• RQ4 阿贝尔群与有限群的直和的亏 gen 如何依赖于生成元数量和分量阶数？
• RQ5 有限生成群的亏 gen 是否定义良好，且能否被有效界定？

主要发现

• 对于任意有限生成群Γ = ⟨g₁,…,gₙ | r₁,…,rₖ⟩，若其最大关系字节长度为ℓ，则对所有g ≥ 2n + ℓ − 1，存在一个亏格为g的Lefschetz纤维丛，其全空间基本群满足π₁(X) ≅ Γ。
• 当n ≥ 3时，辫群Bₙ的亏 gen 满足2 ≤ g(Bₙ) ≤ 4，且g(B₂) = 1。
• 双阿贝尔映射类群H_g的亏 gen 满足2 ≤ g(H_g) ≤ 4（当g ≥ 1时）。
• n- punctured球面的映射类群M₀,ₙ的亏 gen 满足2 ≤ g(M₀,ₙ) ≤ 4（当n ≥ 3时），且g(M₀,₂) = 2。
• 当n ≥ 3时，对称群Sₙ的亏 gen 满足2 ≤ g(Sₙ) ≤ 4，且g(S₂) = 2。
• 对于直和ℤⁿ ⊕ ℤₘ₁ ⊕ ⋯ ⊕ ℤₘₖ（满足n+k ≥ 3），其亏 gen 满足(n+k+1)/2 ≤ g ≤ n+k+1。