[论文解读] On general characterization of nonlinear gauge transformations

Marek Czachor|arXiv (Cornell University)|Nov 22, 1997

Nonlinear Dynamics and Pattern Formation被引用 1

一句话总结

本文研究通过复场 $\psi(x)$ 定义的非线性规范变换（NGT），表明除非在 $\text{Arg}\, z$ 的不同分支上指定变换，否则它们不会构成群。由此产生的结构形成一个由实数参数化的半群，导致 $\gamma$ 参数为复数。一个关键发现是密度矩阵的厄米性变为规范依赖，挑战了非线性规范理论中可观测量规范不变性的假设。

ABSTRACT

Nonlinear gauge transformations (NGT) defined in terms of $\\psi(x)$ do not form a group. To get a group property one has to consider transformations that act differently on different branches of Arg$ z$ and the knowledge of the value of $\\psi(x)$ is not sufficient for a well defined NGT. NGT that are well defined in terms of $\\psi(x)$ form a semigroup parametrized by a real number leads to NGT with complex $\\gamma$. It follows that Hermiticity of density matrices is a gauge dependent property.

研究动机与目标

• 澄清通过 $\psi(x)$ 定义的非线性规范变换（NGT）的代数结构，特别是其无法构成群的原因。
• 研究在 $\text{Arg}\, z$ 的不同分支上NGT可一致定义的条件。
• 确定此类变换对物理性质规范不变性的影响，特别是密度矩阵厄米性的含义。

提出的方法

• 通过复场 $\psi(x)$ 分析NGT，其中变换依赖于 $z = \psi(x)$ 的辐角。
• 引入一种依赖分支的变换规则，以恢复一致性，其中变换行为在 $\text{Arg}\, z$ 的黎曼面不同支上有所不同。
• 通过实参数构造NGT的参数化族，导致变换律中出现复数 $\gamma$。
• 证明良好定义的NGT集合形成半群而非群，原因是缺乏可逆性。
• 检查此类NGT下密度矩阵的变换性质，以评估厄米性的规范依赖性。

实验结果

研究问题

• RQ1 为何仅通过 $\psi(x)$ 定义的非线性规范变换无法构成群？
• RQ2 $\text{Arg}\, z$ 的多值性如何影响非线性规范变换的一致性？
• RQ3 良好定义的非线性规范变换形成何种代数结构，其参数化方式如何？
• RQ4 $\gamma$ 的规范依赖性如何影响密度矩阵的物理诠释？
• RQ5 密度矩阵的厄米性在非线性规范变换下是否保持不变，还是具有规范依赖性？

主要发现

• 仅通过 $\psi(x)$ 定义的非线性规范变换因相位 $\text{Arg}\, z$ 的模糊性而无法构成群。
• 一致的NGT要求指定 $\text{Arg}\, z$ 不同分支上的行为，仅凭 $\psi(x)$ 的值不足以定义良好定义的变换。
• 良好定义的NGT形成一个由实数参数化的半群，导致变换律中出现复数 $\gamma$ 参数。
• 密度矩阵的厄米性并非规范不变，而是依赖于非线性规范变换的选择。