[论文解读] On general position sets in Cartesian grids

Sandi Klavžar, Gregor Rus+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 10, 2019

Computational Geometry and Mesh Generation被引用 6

一句话总结

本文研究了路径与环的笛卡尔积中的一般位置数（gp-number），推导出网格 $P_r \square P_s$ 的精确公式，确定了圆柱形网格 $P_r \square C_s$ 的 gp-number，并为环面形网格 $C_r \square C_s$ 和无限三维网格建立了下界。此外，还为哈密顿图和笛卡尔幂提供了概率下界。

ABSTRACT

The general position number ${ m gp}(G)$ of a connected graph $G$ is the cardinality of a largest set $S$ of vertices such that no three pairwise distinct vertices from $S$ lie on a common geodesic; such sets are refereed to as gp-sets of $G$. A formula for the number of gp-sets in $P_r \,\square\, P_s$, $r,s\ge 2$, is determined. The general position number of cylinders $P_r \,\square\, C_s$ is deduced, while ${ m gp}(C_r \,\square\, C_s)$ is bounded from the below by $6$, whenever $r\ge s eq 4$ and $r\ge 6$. It is proved that ${ m gp}(P_{\infty} \,\square\, P_{\infty} \,\square\, P_{\infty}) \ge 14$. A probabilistic lower bound on the general position number of Hamming graphs and of Cartesian graph powers is also achieved.

研究动机与目标

• 确定路径 $P_r \square P_s$ 的笛卡尔积在 $r,s \geq 2$ 时的一般位置数。
• 计算圆柱形网格 $P_r \square C_s$ 的一般位置数。
• 为满足 $r \geq s \geq 4$ 且 $r \geq 6$ 的环面形网格 $C_r \square C_s$ 建立一般位置数的下界，且最小值为 6。
• 分析无限三维网格 $P_\infty \square P_\infty \square P_\infty$ 中的一般位置数，证明其至少为 14。
• 为哈密顿图和笛卡尔图幂中的一般位置数推导出概率下界。

提出的方法

• 通过在测地线自由的顶点三元组上使用组合与几何论证，推导出 $P_r \square P_s$ 中一般位置集（gp-sets）数量的闭式公式。
• 应用路径-环积中测地线的结构分析，以确定 $P_r \square C_s$ 中 gp-集的最大大小。
• 利用对称性与环结构，基于大测地线自由集的存在性，证明当 $r \geq s \geq 4$ 且 $r \geq 6$ 时，$m_{gp}(C_r \square C_s) \geq 6$。
• 采用构造性方法，在无限三维网格 $P_\infty \square P_\infty \square P_\infty$ 中展示一个大小为 14 的 gp-集，从而证明该下界成立。
• 应用概率方法估算哈密顿图和笛卡尔幂中的一般位置数，得出渐近下界。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $r,s \geq 2$ 时，笛卡尔积 $P_r \square P_s$ 中的一般位置集的确切数量是多少？
• RQ2 圆柱形网格 $P_r \square C_s$ 的一般位置数是多少？
• RQ3 当 $r \geq s \geq 4$ 且 $r \geq 6$ 时，环面形网格 $C_r \square C_s$ 的最小可能一般位置数是多少？
• RQ4 无限三维网格 $P_\infty \square P_\infty \square P_\infty$ 的一般位置数是多少？
• RQ5 概率方法能否为哈密顿图和笛卡尔图幂的一般位置数提供非平凡的下界？

主要发现

• 为 $P_r \square P_s$ 中的 gp-集数量建立了精确公式，完整刻画了此类集合的组合性质。
• 完全确定了 $P_r \square C_s$ 的一般位置数，表明 gp-集的最大大小取决于环与路径分量的结构。
• 对于满足 $r \geq s \geq 4$ 且 $r \geq 6$ 的环面形网格 $C_r \square C_s$，其一般位置数至少为 6，且在某些情况下该下界是紧的。
• 通过构造性例子表明 $m_{gp}(P_\infty \square P_\infty \square P_\infty) \geq 14$，在无限三维情形中建立了非平凡的下界。
• 概率方法为哈密顿图和笛卡尔图幂中的一般位置数提供了非恒定的下界，表明这些结构中存在大规模的 gp-集。