[论文解读] On generalised Paley graphs and their automorphism groups

Tian Khoon Lim, Cheryl E. Praeger|arXiv (Cornell University)|May 10, 2006

Finite Group Theory Research参考文献 14被引用 6

一句话总结

本文刻画了广义 Paley 图的自同构群，证明当其连通且非哈密顿图时，该群为仿射型的本原群，并确定了这些图同构于哈密顿图的精确条件。本文建立了底层分圆方案本原性的精确准则，并确定了自同构群等于一维仿射群的条件。

ABSTRACT

The generalised Paley graphs are, as their name suggests, a generalisation of the Paley graphs, first defined by Paley in 1933 (see \cite{Paley}). They arise as the relation graphs of symmetric cyclotomic association schemes. However, their automorphism groups may be much larger than the groups of the corresponding schemes. We determine the parameters for which the graphs are connected, or equivalently, the schemes are primitive. Also we prove that generalised Paley graphs are sometimes isomorphic to Hamming graphs and consequently have large automorphism groups, and we determine precisely the parameters for this to occur. We prove that in the connected, non-Hamming case, the automorphism group of a generalised Paley graph is a primitive group of affine type, and we find sufficient conditions under which the group is equal to the one-dimensional affine group of the associated cyclotomic association scheme. The results have been applied in \cite{LLP} to distinguish between cyclotomic schemes and similar twisted versions of these schemes, in the context of homogeneous factorisations of complete graphs.

研究动机与目标

• 确定广义 Paley 图连通的条件，这对应于其底层分圆关联方案为本原方案。
• 确定广义 Paley 图同构于哈密顿图的精确条件，这意味着其自同构群显著更大。
• 刻画连通且非哈密顿图情形下广义 Paley 图的自同构群结构，证明其为仿射型的本原群。
• 建立自同构群等于相关分圆方案的一维仿射群的充分条件。
• 解决分圆方案与其关系图之间自同构群的差异，特别是在完全图的齐次因子分解背景下的关系。

提出的方法

• 通过有限域 $\mathbb{F}_q$ 上乘法子群 $S$（在 $\mathbb{F}_q^*$ 中指数为 $k$）定义广义 Paley 图，边由差集 $S$ 定义。
• 利用对称分圆关联方案 $\mathrm{Cyc}(q,k)$ 的结构分析其关系图及其自同构群。
• 应用群论准则判断方案的本原性，基于 $q-1$ 与 $p^a - 1$ 的整除性条件，其中 $a$ 为 $R$ 的真因子。
• 采用 McConnel (1963) 的结果 $\mathrm{Aut}(\mathrm{Cyc}(q,k)) \leq \mathrm{A\Gamma L}(1,q)$ 作为基础界限。
• 通过表示论与极大子群分析自同构群结构，特别关注 $\mathrm{AGL}(R,p)$ 与 $\mathrm{A\Gamma L}(1,q)$ 的情形。
• 利用有限单群表对自同构群中元素阶进行有界，从而在分类中使用反证法。

实验结果

研究问题

• RQ1 对称分圆方案 $\mathrm{Cyc}(q,k)$ 在何种条件下是本原的？
• RQ2 广义 Paley 图在何种条件下同构于哈密顿图？
• RQ3 当广义 Paley 图连通但非哈密顿图时，其自同构群的结构如何？
• RQ4 广义 Paley 图的自同构群在何种条件下等于一维仿射群 $\mathrm{A\Gamma L}(1,q)$？
• RQ5 广义 Paley 图的自同构群与其底层分圆方案的自同构群之间有何关系？

主要发现

• 分圆方案 $\mathrm{Cyc}(q,k)$ 是本原的当且仅当 $k$ 不被 $\frac{q-1}{p^a - 1}$ 整除，其中 $a$ 为 $R$ 的任意真因子，且 $q = p^R$。
• 广义 Paley 图 $\mathrm{GPaley}(q, \frac{q-1}{k})$ 同构于哈密顿图当且仅当 $k = \frac{a(q-1)}{R(p^a - 1)}$，其中 $a$ 为 $R$ 的某个真因子。
• 当连通且非哈密顿图时，广义 Paley 图的自同构群是 $\mathrm{AGL}(R,p)$ 的本原子群，且包含平移群 $\mathbb{Z}_p^R$。
• 若 $k$ 整除 $p-1$，则 $\mathrm{Aut}(\Gamma) = \mathrm{Aut}(\mathrm{Cyc}(q,k)) < \mathrm{A\Gamma L}(1,q)$，即自同构群严格小于完整的仿射群。
• 在所有情况下，方案 $\mathrm{Cyc}(q,k)$ 的自同构群包含于 $\mathrm{A\Gamma L}(1,q)$，证实了 McConnel 的结果。
• 通过有限单群表对极大子群的分类与元素阶的有界，排除了不可能的情形，从而通过反证法证明了主要定理。