[论文解读] On Generalizations of the Pell Sequence

Fügen Torunbalcı Aydın, Kevser Köklü|arXiv (Cornell University)|Nov 16, 2017

Mathematical Inequalities and Applications参考文献 5被引用 4

一句话总结

本文引入并分析了三种佩尔数列的推广形式：广义佩尔数列、广义复佩尔数列以及广义对偶佩尔数列，采用任意整数参数 p 和 q。研究推导了这些数列的递推关系、比内公式、白银比例以及向量运算（点积、叉积与混合积），将经典佩尔数的性质扩展至复数与对偶数等更广泛的代数结构。

ABSTRACT

In this paper, we investigate the generalized Pell sequence, the generalized complex Pell sequence and the generalized dual Pell sequence using the Pell numbers. We obtain special cases of these sequences. Furthermore, we give recurrence relations, vectors, the silver ratio and Binet's formula for the above-investigated sequences.

研究动机与目标

• 将经典佩尔数列推广为包含任意初值 p 和 q 的广义形式。
• 研究广义佩尔数列在复数与对偶数系统中的代数与几何性质。
• 推导广义数列的递推关系、比内公式以及向量运算（点积、叉积、混合积）。
• 探讨广义设定下白银比例与佩尔-卢卡斯数的关系。
• 提供广义数列的特例与极限行为分析，特别是当 p=1, q=0 时的情形。

提出的方法

• 通过递推关系 P_n = 2P_{n-1} + P_{n-2} 定义广义佩尔数列，其中初始值为 P_0 = q, P_1 = p。
• 将广义佩尔数列表示为标准佩尔数的组合：P_n = pP_n + qP_{n-1}。
• 引入广义复佩尔数列 C_n = P_n + i P_{n+1}，其中 i² = -1。
• 定义广义对偶佩尔数列 D^P_n = P_n + ε P_{n+1}，其中 ε² = 0。
• 利用特征方程 x² - 2x - 1 = 0 的根，推导广义佩尔数列的比内公式。
• 分析数列在实数、复数与对偶数表示下的向量运算（点积、叉积、混合积）。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在保持递推结构的前提下，将经典佩尔数列推广为包含任意初值 p 和 q 的形式？
• RQ2 广义佩尔数列的闭式表达式（如比内公式）及其极限行为是什么？
• RQ3 佩尔数列的性质（如行列式恒等式、求和公式）如何推广至广义复佩尔数列与广义对偶佩尔数列？
• RQ4 从广义佩尔数列导出的向量在复数与对偶数系统中具有哪些代数与几何时性质？
• RQ5 白银比例与佩尔-卢卡斯数在广义数列中如何关联？

主要发现

• 广义佩尔数列满足恒等式 P_{n+r} = P_n P_{r+1} + P_{n-1} P_r，扩展了经典加法公式。
• 行列式恒等式 P_{n-1} P_{n+1} - P_n² = (-1)^n e_p 成立，其中 e_p = p² - 2pq - q²。
• 广义佩尔数列的比内公式为 P_n = (p - 2q)P_n + qP_{n+1}，其中 P_n 与 P_{n+1} 为标准佩尔数。
• 广义复佩尔数列 C_n = P_n + i P_{n+1} 满足相同的递推关系，并继承自实广义佩尔数列的性质。
• 广义对偶佩尔数列 D^P_n = P_n + ε P_{n+1} 满足相同的递推关系，并可在对偶数代数中实现向量运算。
• 三个广义对偶佩尔向量的混合积恒为零，表明在对偶向量空间中存在线性相关性。