[论文解读] On generalized categories of Soergel bimodules in type $A_2$

Thomas Gobet, Anne‐Laure Thiel|arXiv (Cornell University)|Nov 23, 2017

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 5被引用 3

一句话总结

本文计算了在类型 $A_2$ 中，由所有反射（而不仅简单反射）生成的广义 Soergel 双模类别的分裂 Grothendieck 环。该环被表示为一个秩为 20 的 $ \mathbb{Z}[v^{\pm 1}]$-自由代数，给出了由生成元与关系构成的表示，并通过在某些反射下共轭不变的子集 $A \subseteq W$ 参数化不可约对象，将其实现为扭曲对角线并集上的正则函数。

ABSTRACT

In this note, we compute the split Grothendieck ring of a generalized category of Soergel bimodules of type $A_2$, where we take one generator for each reflection. We give a presentation by generators and relations of it and a parametrization of the indecomposable objects in the category, by realizing them as rings of regular functions on certain unions of graphs of group elements on a reflection faithful representation.

研究动机与目标

• 计算由所有反射 $t \in T$ 生成的类别 $\mathcal{C}$ 的分裂 Grothendieck 环 $\langle\mathcal{C}\rangle$，其中 $B_t = R \otimes_{R^t} R(1)$，类型为 $A_2$。
• 通过生成元与关系给出 $\langle\mathcal{C}\rangle$ 的表示，证明其为类型 $\widetilde{A_2}$ 的 Iwahori-Hecke 代数的商。
• 利用满足 $tA = A$ 的子集 $A \subseteq W$（其中 $t \in T$）对 $\mathcal{C}$ 中的不可约对象进行参数化，并将其实现为群元素图的并集上的环。
• 证明 $\mathcal{C}$ 包含不与任何 $R(A)$ 同构的不可约双模，表明该范畴严格大于标准 Soergel 范畴 $\mathcal{B}$。

提出的方法

• 对每个反射 $t \in T$ 定义 $B_t = R \otimes_{R^t} R(1)$，其中 $R = \mathcal{O}(V)$ 是在反射忠实表示 $V$ 上的多项式函数环。
• 利用同构关系如 $R_w \otimes_R R(A) \cong R(wA)$ 和 $B_s B_t B_s \cong B_s B_{sts} B_s$ 推导生成元之间的关系。
• 将不可约双模实现为 $R(A) = \mathcal{O}(\bigcup_{x \in A} \mathrm{Gr}(x))$，其中 $\mathrm{Gr}(x) = \{(xv,v) \mid v \in V\}$，并通过零次分量分析证明其不可约性。
• 证明 $B_t \cong R(\{e,t\})(1)$，将标准双模与新参数化联系起来。
• 利用 $R(A)$ 的零次分量为一维的事实，证明其不可约性。
• 通过比较标准滤子与子商结构，证明 $\mathcal{C}$ 中某些双模（如 $B_s R_t B_u$）不与任何 $R_w B' R_{w'}$ 同构（其中 $B' \in \mathcal{B}$），从而表明其结构不匹配。

实验结果

研究问题

• RQ1 在类型 $A_2$ 中，由所有反射 $t \in T$ 生成的类别 $\mathcal{C}$ 的分裂 Grothendieck 环 $\langle\mathcal{C}\rangle$ 的结构是什么？
• RQ2 如何对 $\mathcal{C}$ 中的不可约对象进行参数化？其几何实现形式为何？
• RQ3 $\mathcal{C}$ 是否包含不与任何 $A \subseteq W$ 对应的 $R(A)$ 同构的不可约双模？若存在，它们与标准 Soergel 范畴 $\mathcal{B}$ 中的双模有何区别？
• RQ4 $\langle\mathcal{C}\rangle$ 是否为 $\mathbb{Z}[v^{\pm 1}]$ 上的有限维代数？能否通过生成元与关系进行表示？
• RQ5 $\mathcal{C}$ 与类型 $\widetilde{A_2}$ 的仿射 Hecke 代数之间存在何种关系？

主要发现

• 分裂 Grothendieck 环 $\langle\mathcal{C}\rangle$ 是一个秩为 20 的 $ \mathbb{Z}[v^{\pm 1}]$-自由代数。
• 环 $\langle\mathcal{C}\rangle$ 允许由生成元与关系构成的表示，且同构于类型 $\widetilde{A_2}$ 的 Iwahori-Hecke 代数的商。
• $\mathcal{C}$ 中的不可约对象与满足 $tA = A$（对某个 $t \in T$）的子集 $A \subseteq W$ 一一对应，其几何实现为 $R(A) = \mathcal{O}(\bigcup_{x \in A} \mathrm{Gr}(x))$。
• 存在不可约双模（如 $B_s R_t B_u$）不与任何 $R_w B' R_{w'}$（其中 $B' \in \mathcal{B}$）同构，原因在于其标准滤子结构不匹配。
• 范畴 $\mathcal{C}$ 严格包含标准 Soergel 范畴 $\mathcal{B}$，这由其标准滤子中包含多个 $R_x$ 的双模所证明，而这类双模无法由 $R(A)$ 类型的双模生成。
• 在类型 $A_3$ 中，由 $B_s, B_t, B_u, B_{sts}$ 生成的子范畴包含不与 $R(A)$ 同构的双模，且目前尚不清楚 $\langle\mathcal{C}_2\rangle$ 是否具有有限秩。