[论文解读] On generalized Hilbert-Kunz function and multiplicity

Hailong Dao, Ilya Smirnov|arXiv (Cornell University)|May 8, 2013

Commutative Algebra and Its Applications参考文献 29被引用 13

一句话总结

本文引入了在正特征局部环上有限生成模的广义希尔伯特-昆伦函数与多重性，通过弗罗贝尼乌斯拉回和局部上同调定义。在优良、等维且局部科恩-麦克aul伊条件下，证明了广义希尔伯特-昆伦多重性的存在性，并表明在完备交情形下，该多重性当且仅当模的投射维数小于克鲁尔维顿时为零。

ABSTRACT

Let $(R,\mathfrak m)$ be a local ring of characteristic $p>0$ and $M$ a finitely generated $R$-module. In this note we consider the limit: $\lim_{n o \infty} \frac{\ell(H^0_{\mathfrak m}(F^n(M)))}{p^{n\dim R}} $ where $F(-)$ is the Peskine-Szpiro functor. A consequence of our main results shows that the limit always exists when $R$ is excellent and has isolated singularity. Furthermore, if $R$ is a complete intersection, then the limit is 0 if and only if the projective dimension of $M$ is less than the Krull dimension of $R$. We exploit this fact to give a quick proof that if $R$ is a complete intersection of dimension $3$, then the Picard group of the punctured spectrum of $R$ is torsion-free. Our results work quite generally for other homological functors and can be used to prove that certain limits recently studied by Brenner exist over projective varieties.

研究动机与目标

• 将经典的希尔伯特-昆伦理论从 ${\mathfrak{m}}$-主要理想推广至正特征下的任意有限生成模。
• 定义并研究广义希尔伯特-昆伦函数 $ f_{gHK}^M(n) = \ell(\operatorname{H}^0_{{\mathfrak{m}}}(M \otimes_R {}^nR)) $ 及其渐近极限 $ \operatorname{e_{gHK}}(M) $。
• 确立极限 $ \operatorname{e_{gHK}}(M) $ 存在的条件，特别是在孤立奇点与完备交情形下。
• 将结果应用于证明三维完备交的穿孔谱的佩卡尔群为无 torsion。
• 将框架推广至其他同调函子，如高阶局部上同调与 $ \operatorname{Tor} $，并证明相关极限的存在性。

提出的方法

• 利用第 $ n $ 个弗罗贝尼乌斯拉回 $ {}^nR $ 与第 $ 0 $ 个局部上同调模 $ \operatorname{H}^0_{{\mathfrak{m}}}(M \otimes_R {}^nR) $ 定义广义希尔伯特-昆伦函数。
• 使用 Pescine-Szpiro 函子与弗罗贝尼乌斯自同态的性质分析长度函数 $ f_{gHK}^M(n) $ 的增长。
• 应用 Auslander-Buchweitz 近似与超曲面中的周期性分解，将 $ \operatorname{Tor}_i^R(L, {}^nR) $ 与广义函数关联。
• 利用超曲面上极小分解的 $ 2 $-周期性与 $ \theta $-函数的行为，控制 $ \operatorname{Tor} $-模的长度。
• 通过格罗滕迪克群证明当 $ \operatorname{IPD}(M) \subseteq \{\mathfrak{m}\} $ 时 $ \theta(M, {}^nR) = 0 $，从而实现 $ f_{gHK}^M(n) $ 的分解。
• 通过约化至有限长模并利用零化子中的正则序列，证明高阶局部上同调极限的存在性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，广义希尔伯特-昆伦多重性 $ \operatorname{e_{gHK}}(M) = \lim_{n\to\infty} \frac{\ell(\operatorname{H}^0_{{\mathfrak{m}}}(M \otimes_R {}^nR))}{p^{nd}} $ 存在？
• RQ2 在完备交环 $ R $ 中，何时 $ \operatorname{e_{gHK}}(M) = 0 $，这与 $ M $ 的投射维数有何关系？
• RQ3 广义希尔伯特-昆伦函数能否分解为更简单函数的差，特别是在超曲面情形下？
• RQ4 对于更高的 $ k $，$ \ell(\operatorname{H}^k_{{\mathfrak{m}}}(F^n(M))) $ 的渐近行为如何，且极限在何时存在？
• RQ5 该理论如何推广至其他同调函子，如 $ \operatorname{Tor} $ 与 $ \operatorname{Ext} $？

主要发现

• 广义希尔伯特-昆伦多重性 $ \operatorname{e_{gHK}}(M) $ 在优良、等维且在穿孔谱上局部科恩-麦克aul伊的局部环中存在。
• 对于科恩-麦克aul伊环，极限 $ \operatorname{e_{gHK}}(M) $ 的存在性无需完整的优良性假设。
• 在完备交环中，$ \operatorname{e_{gHK}}(M) = 0 $ 当且仅当 $ \operatorname{pd}_R M < \dim R $，提供了同调特征化。
• 对于具有孤立奇点的超曲面模，广义函数 $ f_{gHK}^M(n) $ 可表示为两个此类函数的差。
• 当 $ M $ 在穿孔谱上局部自由时，极限 $ \lim_{n\to\infty} \frac{\ell(\operatorname{H}^k_{{\mathfrak{m}}}(F^n(M)))}{p^{nd}} $ 对 $ k \geq 1 $ 存在。
• 该理论表明，三维完备交的穿孔谱的佩卡尔群为无 torsion，这通过 $ \operatorname{e_{gHK}}(M) $ 的消失性得到证明。