[论文解读] On Generalized interval exchange maps: Dynamics and geometry of the Rauzy-Veech induction

Corentin Boissy, Erwan Lanneau|arXiv (Cornell University)|Oct 30, 2007

Mathematical Dynamics and Fractals被引用 3

一句话总结

本文将区间交换映射推广至具有 Z/2Z 旋ality 的平坦曲面上的线性对合，为广义置换引入了 Rauzy-Veech 归纳法的类比。它建立了广义置换的扩展 Rauzy 类与至多具有单极的极化二次微分的 strata 的连通分支之间的自然双射，从而实现了对例外 strata 的完整分类。

ABSTRACT

Interval exchange maps are related to geodesic flows on translation surfaces; they correspond to the first return maps of the vertical flow on a transverse segment. The Rauzy-Veech induction on the space of interval exchange maps provides a powerful tool to analyze the Teichmueller geodesic flow on the moduli space of Abelian differentials. Several major results have been proved using this renormalization. Danthony and Nogueira introduced in 1988 a natural generalization of interval exchange transformations, namely the linear involutions. These maps are related to general measured foliations on surfaces (orientable or not). In this paper we are interested by such maps related to geodesic flow on (orientable) flat surfaces with Z/2Z linear holonomy. We relate geometry and dynamics of such maps to the combinatorics of generalized permutations. We study an analogue of the Rauzy-Veech induction and give an efficient combinatorial characterization of its attractors. We establish a natural bijection between the extended Rauzy classes of generalized permutations and connected components of the strata of meromorphic quadratic differentials with at most simple poles, which allows, in particular, to classify the connected components of all exceptional strata.

研究动机与目标

• 将 Rauzy-Veech 归纳法框架推广至具有 Z/2Z 旋ality 的平坦曲面上的线性对合。
• 将这些映射的动力学与几何性质与广义置换的组合结构联系起来。
• 为广义 Rauzy-Veech 归纳法中的吸引子提供组合表征。
• 利用扩展 Rauzy 类对至多具有单极的极化二次微分的 strata 的连通分支进行分类。

提出的方法

• 将 Rauzy-Veech 归纳法适配至表示平坦曲面上线性对合的广义置换。
• 为与具有 Z/2Z 旋ality 的曲面上测地线流相关的线性对合作出 Rauzy-Veech 归纳法的类比。
• 使用组合工具分析广义置换的扩展 Rauzy 类的结构。
• 建立广义置换的扩展 Rauzy 类与极化二次微分 strata 的连通分支之间的自然双射。
• 将该双射应用于对至多具有单极的极化二次微分的所有例外 strata 的连通分支进行分类。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将 Rauzy-Veech 归纳法推广至具有 Z/2Z 旋ality 的平坦曲面上的线性对合？
• RQ2 广义 Rauzy-Veech 归纳法中广义置换的吸引子的组合结构是什么？
• RQ3 广义置换的扩展 Rauzy 类如何与极化二次微分 strata 的连通分支相关联？
• RQ4 能否通过该框架对至多具有单极的极化二次微分的所有例外 strata 的连通分支进行完全分类？

主要发现

• 建立了广义置换的扩展 Rauzy 类与至多具有单极的极化二次微分 strata 的连通分支之间的自然双射。
• 广义 Rauzy-Veech 归纳法通过广义置换提供了其吸引子的高效组合表征。
• 该框架使得对至多具有单极的极化二次微分的所有例外 strata 的连通分支实现完全分类。
• 线性对合在具有 Z/2Z 旋ality 的平坦曲面上的动力学与广义置换的组合结构之间显示出深刻联系。