[论文解读] On Generalized m-th Root Finsler Metrics

Akbar Tayebi, E. Peyghan+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 11, 2013

Advanced Differential Geometry Research参考文献 6被引用 3

一句话总结

本文研究广义 $m$-th 根 Finsler 度量，通过涉及一个 1-形式 $ heta$ 的偏微分方程组刻画其局部对偶平坦结构。证明若此类度量与标准 $m$-th 根度量为射影相关，则要么 $B=0$，要么度量退化为黎曼度量。关键结果为：广义 $m$-th 根度量与标准 $m$-th 根度量之间的共形不变性迫使两者均为黎曼度量，从而推广了关于 Douglas 度量的已知结果。

ABSTRACT

In this paper, we characterize locally dually flat generalized m-th root Finsler metrics. Then we find a condition under which a generalized m-th root metric is projectively related to a m-th root metric. Finally, we prove that if a generalized m-th root metric is conformal to a m-th root metric, then both of them reduce to Riemannian metrics.

研究动机与目标

• 通过偏微分方程组刻画局部对偶平坦的广义 $m$-th 根 Finsler 度量。
• 确定广义 $m$-th 根度量与标准 $m$-th 根度量射影相关的条件。
• 研究广义 $m$-th 根度量与标准 $m$-th 根度量共形等价时的几何后果。
• 推广关于 Douglas 度量及其退化为 Berwald 或黎曼结构的已知结果。

提出的方法

• 通过 $A$ 和 $B$ 的二阶导数推导广义 $m$-th 根 Finsler 度量 $F = \sqrt{A^{2/m} + B}$ 的基本度量张量 $g_{ij}$。
• 利用局部对偶平坦条件：$(F^2)_{x^k y^l} y^k = 2(F^2)_{x^l}$，并用 $A_{x^l}$、$B_{0l}$ 和一个 1-形式 $ heta$ 表达该条件。
• 通过分析喷射系数 $G^i$ 与 $\bar{G}^i$ 在标量函数 $P(x,y)$ 下的行为，建立 $\bar{F} = \sqrt{A^{2/m} + B}$ 与 $F = A^{1/m}$ 之间的射影等价性。
• 应用共形变换 $\bar{F} = e^\alpha \tilde{F}$，并推导关系式 $g_{ij} = \frac{1}{1 - e^{2\alpha}}(e^{2\alpha} \tilde{b}_{ij} - \bar{b}_{ij})$ 以分析度量的黎曼性质。
• 利用涉及 $A_{ij}$、$A^{ij}$ 和 $y^i$ 的张量恒等式，简化曲率与喷射系数的表达式。
• 通过反证法假设非黎曼结构，并由非退化性条件导出 $c_s = 0$，从而推出 $B = 0$。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，广义 $m$-th 根 Finsler 度量是局部对偶平坦的？
• RQ2 广义 $m$-th 根度量在何种条件下与标准 $m$-th 根度量射影相关？
• RQ3 当广义 $m$-th 根度量与标准 $m$-th 根度量共形等价时，其几何结构如何变化？
• RQ4 非黎曼的广义 $m$-th 根度量能否与标准 $m$-th 根度量共形等价？

主要发现

• 广义 $m$-th 根 Finsler 度量 $F = \sqrt{A^{2/m} + B}$ 当且仅当存在一个 1-形式 $ heta$，使得 $B_{0l} = 2B_{x^l}$ 且 $A_{x^l} = \frac{1}{3m}[mA\theta_l + 2\theta A_l]$ 时，为局部对偶平坦。
• 若广义 $m$-th 根度量 $\bar{F} = \sqrt{A^{2/m} + B}$ 与 $F = A^{1/m}$ 射影相关，则在条件 (7) 下，$\bar{F}$ 与 $F$ 射影相关；若条件 (8) 成立，则 $B = 0$，故 $\bar{F} = F$。
• 若广义 $m$-th 根度量 $\bar{F}$ 与标准 $m$-th 根度量 $F = A^{1/m}$ 共形等价，则 $F$ 必为黎曼度量，即 $C_{ijk} = 0$。
• 若两个广义 $m$-th 根度量 $\bar{F} = \sqrt{A^{2/m} + \bar{B}}$ 与 $\tilde{F} = \sqrt{A^{2/m} + \tilde{B}}$ 共形等价，且 $F = A^{1/m}$ 非黎曼，则必有 $\bar{B} = \tilde{B}$。
• 若 $\bar{F}$ 与 $F = A^{1/m}$ 共形相关且 $F$ 非黎曼，则 $\bar{F} = F$，即不存在非平凡的共形形变。
• 证明表明，非零的 $d^j c_j$ 与曲率项的非退化性迫使 $c_s = 0$，从而推出 $B = 0$，使度量退化为标准 $m$-th 根情形。