[论文解读] On Generalized Moment Maps for Symplectic Compact Group Actions

Pierre Sleewaegen|arXiv (Cornell University)|Apr 29, 2003

Geometric and Algebraic Topology参考文献 19被引用 3

一句话总结

本文为紧致连通李群在闭合辛流形上的辛作用引入了广义矩映射，将 McDuff 的圆值矩映射推广至高秩紧致群。它建立了环面作用的非哈密顿版本的 Atiyah-Guillemin-Sternberg 凸性定理，并利用纤维连通的矩映射与约化技术，证明了具有不动点的复杂性一辛环面作用必为哈密顿作用。

ABSTRACT

A generalized moment map is proposed for arbitrary symplectic actions of compact connected Lie groups on closed symplectic manifolds, in the spirit of the circle -valued maps introduced by D. McDuff in the case of non-Hamiltonian circle actions. We study equivariance properties of generalized moments, show that they allow reduction procedures, and obtain in the torus case a version of the Atiyah-Guillemin-Sternberg convexity theorem. As illustration, we reformulate a proof of M.K. Kim that "complexity one" symplectic torus actions are Hamiltonian, and give a symplectic proof of the finiteness of certain symmetry groups of compact oriented surfaces.

研究动机与目标

• 将 McDuff 的圆值矩映射推广至辛流形上的一般紧致李群作用。
• 为环面作用建立非哈密顿版本的 Atiyah-Guillemin-Sternberg 凸性定理。
• 利用广义矩映射与约化技术，证明具有不动点的复杂性一辛环面作用必为哈密顿作用。
• 分析广义矩映射的等变性质及其与 Marsden-Weinstein 约化的相容性。
• 通过广义矩映射框架，提供亏格 ≥2 曲面上等距群有限性的辛证明。

提出的方法

• 定义广义矩映射 μ: M → 𝒞* × (S¹)^r，其中 𝒞* 为哈密顿矩映射，(S¹)^r 为非哈密顿环面作用的 McDuff 矩映射。
• 在 M 上构造一个 G-不变的积分辛形式 ω′，使得作用相对于 ω′ 为哈密顿作用。
• 利用分解 G = C × T^r，其中 C 作用为哈密顿作用，T^r 作用为非哈密顿作用，以定义矩映射结构。
• 应用矩映射的纤维连通性，以确保对水平集与约化空间的拓扑控制。
• 通过 Marsden-Weinstein 约化分阶段实施，将仿射作用于 (S¹)^r 的方法适配至非哈密顿作用。
• 利用 Sard 定理与不动点附近的局部正规型，构造正则值并识别不动点轨道。

实验结果

研究问题

• RQ1 McDuff 的圆值矩映射构造能否推广至辛流形上高秩紧致李群作用？
• RQ2 通过广义矩映射，非哈密顿环面作用是否仍满足 Atiyah-Guillemin-Sternberg 凸性定理？
• RQ3 在何种条件下，复杂性一的辛环面作用必为哈密顿作用？
• RQ4 广义矩映射的等变性能否实现？当无不动点时，其障碍为何？
• RQ5 不动点的存在如何影响非哈密顿群作用的哈密顿性质？

主要发现

• 对于紧致连通李群在闭合辛流形上的作用，存在广义矩映射 μ: M → 𝒞* × (S¹)^r，其中 𝒞* 为真实的哈密顿矩映射，(S¹)^r 分量为 McDuff 矩映射。
• 当 G 为环面时，广义矩映射的像满足 μ(M) = Δ × (S¹)^r，其中 Δ 为哈密顿分量的凸多面体像，且 μ 为开映射。
• 一阶贝蒂数 b₁(M) 满足 r ≤ b₁(M)，其中 r 为非哈密顿环面因子的秩。
• 若 T^r 作用存在不动点，则广义矩映射可选取为群作用下的等变映射。
• 非哈密顿性遗传性保证了在 T¹-约化后，非哈密顿 T^r 作用仍保持非哈密顿性，从而保持矩映射结构。
• 纤维连通的矩映射 μ^fc 允许分阶段约化，生成一个具有非哈密顿 S¹ 作用且含不动点的连通 4 维轨道流形，该结果与 McDuff 的结论矛盾，从而证明了 Kim 关于复杂性一作用的定理。