[论文解读] On Generalized Randers Manifolds

Aly A. Tamim, Nabil L. Youssef|ArXiv.org|Jul 22, 2006

Advanced Differential Geometry Research参考文献 5被引用 7

一句话总结

本文将广义Randers流形引入为形如 $L^* = L + \alpha$ 的Finsler结构，其中 $L$ 是Finsler度量，$\alpha$ 是一个1-形式，从而扩展了经典Randers几何。通过一种全局的、非坐标的方法，证明了当 $d_J\alpha$ 为闭形式时，广义Randers流形是广义Landsberg流形的充要条件为 $\nabla_{\beta\overline{\eta}}\nu = 0$，从而为这类结构提供了关键的几何刻画。

ABSTRACT

By a Randers' structure on a manifold $M$ we mean a Finsler structure $L^*=L+α$, where $L$ is a Riemannian structure and $α$ is a 1-form on $M$. This structure was first introduced by Randers ~\cite{[8]} from the standpoint of general relativity. In this paper, we replace $L$ by a Finsler structure, calling the resulting manifold a generalized Randers manifold. On one hand, we develop in some depth generalized Randers manifolds. On the other hand, we apply the results obtained in a foregoing paper ~\cite{[12]} to generalized Randers manifolds to obtain some new results in that domain. Among many results, we establish a necessary and sufficient condition for a generalized Randers manifold to be a general Landsberg manifold. It should be noticed that our approach is in general a global one.

研究动机与目标

• 将广义Randers流形的全局研究从局部坐标方法中进一步拓展和深化。
• 应用先前关于Finsler联络的研究成果，推导广义Randers流形的新几何刻画。
• 建立广义Randers流形为广义Landsberg流形的必要与充分条件。
• 研究广义Randers结构中测地线、曲率与水平分布可积性之间的关系。

提出的方法

• 本文采用基于 $\pi$-张量场和流形 $\mathcal{T}M$ 上的Cartan联络的全局纤维丛理论框架。
• 通过与1-形式 $\alpha$ 关联的 $\pi$-向量场 $\overline{b}$ 定义广义Randers度量 $L^* = L + \alpha$，其中 $\alpha = g(\overline{b}, \overline{\eta})$。
• 利用联络映射 $K$ 和水平提升 $\beta$，分析了诸如挠率 $T$、曲率 $R$ 和角度量张量 $h$ 等关键几何对象。
• 引入张量 $N = \nabla_{\beta\overline{X}}\overline{b} - \overline{\nabla_X b}$ 和形式 $\nu = \ell \circ N_0$，以编码其与标准Randers几何的偏离。
• 利用水平分布和 $J$-协变导数 $d_J\alpha$ 分析可积性与测地线等价性。
• 分析依赖于Cartan联络 $\nabla$ 及其在 $\pi$-丛上诱导的曲率与挠率张量 $R$、$P$、$Q$、$S$、$T$。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种全局条件下，广义Randers流形是广义Landsberg流形？
• RQ2 当 $d_J\alpha$ 为闭形式时，其对广义Randers流形的测地线结构与曲率有何影响？
• RQ3 关联Finsler流形 $(M,L)$ 与广义Randers流形 $(M,L^*)$ 的曲率与挠率张量之间存在何种关系？
• RQ4 在何种条件下，$(M,L)$ 与 $(M,L^*)$ 的测地线重合？何种几何条件可保证这一点？
• RQ5 $(M,L^*)$ 为Berwald或局部Minkowski流形的必要与充分条件是什么？

主要发现

• 当 $d_J\alpha$ 为闭形式时，广义Randers流形 $(M,L^*)$ 是广义Landsberg流形的充要条件为 $\nabla_{\beta\overline{\eta}}\nu = 0$。
• $(M,L)$ 与 $(M,L^*)$ 的测地线重合当且仅当 $d_J\alpha$ 为闭形式，这等价于 $N$ 恒为零。
• 在 $d_J\alpha$ 为闭形式的假设下，$(M,L^*)$ 的水平分布完全可积当且仅当 $(M,L)$ 的水平分布也完全可积。
• 若对所有 $\overline{X}$ 有 $\nabla_{\beta\overline{X}}\omega = 0$，则 $R^* = 0$ 当且仅当 $R = 0$，从而建立了两种结构间曲率消失的联系。
• 当 $d_J\alpha$ 为闭形式时，$\nabla_{\beta\overline{\eta}}\nu = 0$ 是 $(M,L^*)$ 为广义Landsberg流形的必要且充分条件。
• 当 $d_J\alpha$ 为闭形式时，测地线的Morse指标在 $(M,L)$ 与 $(M,L^*)$ 之间保持不变，表明其在变分结构上存在强几何等价性。