[论文解读] On geometric complexity theory: Multiplicity obstructions are stronger than occurrence obstructions

Julian Dörfler, Christian Ikenmeyer+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 14, 2019

Polynomial and algebraic computation被引用 4

一句话总结

该论文首次通过表示论中的重数障碍（multiplicity obstructions）证明了其在几何复杂性理论中相较于出现障碍（occurrence obstructions）的严格更强性。它表明，对于多项式线性形式乘积的Chow簇与有界边界Waring秩的多项式簇，当出现障碍失效时，重数障碍仍能实现分离，从而在具体设定中证明了重数相较于出现具有更强的分离能力。

ABSTRACT

Geometric Complexity Theory as initiated by Mulmuley and Sohoni in two papers (SIAM J Comput 2001, 2008) aims to separate algebraic complexity classes via representation theoretic multiplicities in coordinate rings of specific group varieties. The papers also conjecture that the vanishing behavior of these multiplicities would be sufficient to separate complexity classes (so-called occurrence obstructions). The existence of such strong occurrence obstructions has been recently disproven in 2016 in two successive papers, Ikenmeyer-Panova (Adv. Math.) and B\\"urgisser-Ikenmeyer-Panova (J. AMS). This raises the question whether separating group varieties via representation theoretic multiplicities is stronger than separating them via occurrences. This paper provides for the first time a setting where separating with multiplicities can be achieved, while the separation with occurrences is provably impossible. Our setting is surprisingly simple and natural: We study the variety of products of homogeneous linear forms (the so-called Chow variety) and the variety of polynomials of bounded border Waring rank (i.e. a higher secant variety of the Veronese variety). As a side result we prove a slight generalization of Hermite's reciprocity theorem, which proves Foulkes' conjecture for a new infinite family of cases.

研究动机与目标

• 解决Scott Aaronson提出的开放问题：在几何复杂性理论中，重数障碍是否可被严格证明强于出现障碍。
• 识别一个自然的代数几何设定，使得重数障碍能成功分离两个簇，而出现障碍失败。
• 证明一个广义的Hermite对偶性定理，从而解决Foulkes猜想在新无限族情况下的成立性。
• 提供几何复杂性理论中首个显式例子，其中表示论重数可实现出现障碍无法达到的分离。

提出的方法

• 作者分析GL_m在m个变量中n次齐次多项式空间上的作用，重点关注两个GL_m-不变子簇：Chow簇与Veronese簇的高阶弦簇。
• 利用特征理论与对称函数技巧，比较Chow簇与Waring秩簇的坐标环中不可约表示的表示论重数。
• 关键的技术工具是Hermite对偶性定理的推广，使作者能够计算并比较两个簇坐标环中的重数。
• 他们证明，尽管出现障碍准则已如Ikenmeyer-Panova与Bürgisser-Ikenmeyer-Panova所证失效，但重数障碍准则因Chow簇坐标环中存在非零重数而成功。
• 该证明依赖于Chow簇坐标环包含某些不可约表示且重数非零，而Waring秩簇的坐标环中则不包含这些表示，尽管两者均为GL_m-簇。
• 作者利用对称多项式与plethysm系数的结构，证明在Chow簇设定下，重数障碍非零。

实验结果

研究问题

• RQ1 在任何自然设定中，几何复杂性理论中的重数障碍是否可被严格证明强于出现障碍？
• RQ2 是否存在一个设定，使得一个GL_m-簇的坐标环包含某些非零重数的不可约表示，而另一个簇中则不存在，尽管两者均通过对称构造定义？
• RQ3 广义Hermite对偶性定理是否意味着Foulkes猜想的新情况？
• RQ4 出现障碍的失败是否可通过考虑Chow簇坐标环中的重数来克服？
• RQ5 是否存在一个可证明的最小设定，使得重数障碍成功而出现障碍失败？

主要发现

• 该论文构造了首个已知例子，其中重数障碍可分离两个GL_m-簇——具体为Chow簇与Veronese簇的高阶弦簇，而出现障碍失效。
• 作者证明，Chow簇的坐标环包含某些不可约表示且重数非零，而Waring秩簇的坐标环中则不包含，从而通过重数实现严格分离。
• 证明了一个广义Hermite对偶性定理，解决了Foulkes猜想在新无限族情况下的成立性，扩展了对称函数理论中的已知结果。
• 该论文表明，在此设定下，重数障碍准则严格强于出现障碍准则，从而正面回答了Scott Aaronson的问题。
• 该分离发生在出人意料的简单且自然的几何设定中：线性形式乘积的簇与有界边界Waring秩多项式的簇。
• 结果表明，坐标环中表示论重数可作为几何复杂性理论中比单纯出现条件更强的分离工具。