[论文解读] On Geometric Infinite Divisibility

E Sandhya, R. N. Pillai|arXiv (Cornell University)|Sep 14, 2014

Stochastic processes and financial applications参考文献 11被引用 12

一句话总结

本文引入了无限可分（ID）分布的几何版本，并在独立同分布随机变量的几何求和背景下，发展了几何吸引与部分几何吸引的概念。研究证明，一个分布几何上吸引至几何严格稳定（GSS）分布当且仅当其几何版本属于半-α拉普拉斯分布的部分几何吸引域，从而在几何吸引与半-α拉普拉斯分布之间建立了唯一对应关系。

ABSTRACT

The notion of geometric version of an infinitely divisible law is introduced. Concepts parallel to attraction and partial attraction are developed and studied in the setup of geometric summing of random variables.

研究动机与目标

• 将经典的吸引与部分吸引概念扩展至随机变量的几何求和框架。
• 定义并研究无限可分（ID）分布的几何版本，建立ID分布与其几何版本之间的一一对应关系。
• 刻画几何严格稳定（GSS）分布的几何吸引域与部分几何吸引域。
• 通过ID分布的几何版本，建立部分几何吸引与半-α拉普拉斯分布之间的联系。

提出的方法

• 通过特征函数定义ID分布的几何版本（g.v.）：若 $ F $ 的特征函数为 $ \exp\{-g(t)\} $，则其几何版本 $ G $ 的特征函数为 $ 1/(1 + g(t)) $。
• 通过几何和的归一化定义几何吸引：$ Y_n = B_n^{-1} \sum_{i=1}^{N_{p_n}} X_i $，其中 $ N_{p_n} \sim \text{Geometric}(p_n) $，$ p_n \to 0 $，$ B_n \to \infty $。
• 利用特征函数收敛性证明 $ G $ 是 $ Y_n $ 的极限分布，从而确立几何吸引。
• 通过子序列 $ \{k_n\} $ 定义部分几何吸引，使得 $ Y_{k_n} \to Y $ 在分布上收敛。
• 通过分析特征函数的渐近行为，建立部分几何吸引与半-α拉普拉斯分布之间的联系。
• 应用Kagan等人[4]关于函数方程的结果，证明若对两个不可公度的 $ p $-值收敛成立，则极限必为半-α拉普拉斯分布。

实验结果

研究问题

• RQ1 ID分布的几何版本是什么，它与原始ID分布有何关系？
• RQ2 几何严格稳定（GSS）分布的几何吸引域由什么条件刻画？
• RQ3 部分几何吸引与半-α拉普拉斯分布之间有何关系？
• RQ4 在何种条件下，一个分布部分几何地吸引至半-α拉普拉斯分布？
• RQ5 ID分布的几何版本与其对半-α拉普拉斯分布的部分几何吸引之间存在何种关系？

主要发现

• 具有特征函数 $ \exp\{-g(t)\} $ 的ID分布 $ F $ 的几何版本是具有特征函数 $ 1/(1 + g(t)) $ 的GID分布，从而建立了ID分布与其几何版本之间的一一对应关系。
• 当且仅当 $ F $ 属于 $ G $ 的几何吸引域时，分布 $ F $ 才几何地吸引至GSS分布 $ G $，且该条件成立当且仅当 $ B_n = p^{-n/\alpha} $，$ p_n = p^n $，且 $ \log p_1 / \log p_2 $ 为无理数。
• ID分布 $ F $ 属于GSS分布的几何吸引域的充要条件是 $ [1/p_n] = n $，该条件将归一化常数与几何和的结构联系起来。
• 对每个半-α拉普拉斯分布 $ G $，均存在一个ID分布，其部分几何地吸引至 $ G $，且收敛沿子序列 $ k_n = [a^n] $，$ B_{k_n} = b^{-n} $ 发生。
• 若ID分布 $ F $ 沿子序列 $ k_n $ 部分几何地吸引至 $ G $，且满足 $ k_{n+1}/k_n \to a $，$ B_{k_{n+1}}/B_{k_n} \to 1/b $，则 $ G $ 必为阶数为 $ b $ 的半-α拉普拉斯分布，且满足 $ ab^\alpha = 1 $。
• 半稳定分布 $ G $ 的几何版本是半-α拉普拉斯分布；且ID分布 $ F $ 属于 $ G $ 的部分几何吸引域当且仅当 $ F $ 的几何版本属于 $ G $ 的几何版本的部分几何吸引域。