[论文解读] On Geometry of Manifolds with Some Tensor Structures and Metrics of Norden Type

Манчо Манев|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2017

Advanced Differential Geometry Research参考文献 95被引用 3

一句话总结

本论文研究了配备近乎复结构、近乎接触结构、超复结构以及接触三重结构的流形的几何性质，以及诺登度量和赫尔米特-诺登度量类型——这些是伪黎曼度量，且在相应近乎复结构下为反不变量。论文引入并分析了典型型联络，对仿射联络进行了分类，并研究了曲率性质与可积性条件，特别是通过Nijenhuis张量与Schouten-van Kampen联络，为具有中性符号的广义复几何与超复几何建立了基础性结果。

ABSTRACT

The object of study in the present dissertation are some topics in differential geometry of smooth manifolds with additional tensor structures and metrics of Norden type. There are considered four cases depending on the dimension of the manifold: 2n, 2n + 1, 4n and 4n + 3. The studied tensor structures, which are counterparts in the different related dimensions, are the almost complex/contact/hypercomplex structure and the almost contact 3-structure. The considered metric on the 2n-dimensional case is the Norden metric, and the metrics in the other three cases are generated by it. The purpose of the dissertation is to carry out the following: 1. Further investigations of almost complex manifolds with Norden metric including studying of natural connections with conditions for their torsion and invariant tensors under the twin interchange of Norden metrics. 2. Further investigations of almost contact manifolds with B-metric including studying of natural connections with conditions for their torsion and associated Schouten-van Kampen connections as well as a classification of affine connections. 3. Introducing and studying of Sasaki-like almost contact complex Riemannian manifolds. 4. Further investigations of almost hypercomplex manifolds with Hermitian-Norden metrics including studying of integrable structures of the considered type on 4-dimensional Lie algebra and tangent bundles with the complete lift of the base metric; introducing of associated Nijenhuis tensors in relation with natural connections having totally skew-symmetric torsion as well as quaternionic Kähler manifolds with Hermitian-Norden metrics. 5. Introducing and studying of manifolds with almost contact 3-structures and metrics of Hermitian-Norden type and, in particular, associated Nijenhuis tensors and their relationship with natural connections having totally skew-symmetric torsion.

研究动机与目标

• 为配备Norden型度量（伪黎曼度量，中性符号）的近乎复与近乎接触结构的流形建立全面的几何框架。
• 对近乎接触流形上的B度量分类仿射联络，并构造与几何结构相容的典型型联络。
• 通过关联的Nijenhuis张量与赫尔米特-诺登度量，研究近乎超复与近乎接触三重结构的可积性与曲率性质。
• 研究适用于这些结构的典型联络与Schouten-van Kampen联络的存在性与性质。
• 探讨广义复几何与赫尔米特-诺登度量之间的关系，特别是在切丛与李代数中的情形。

提出的方法

• 利用光滑流形上的微分几何技术，重点关注张量场、自同态与度量相容性条件。
• 在配备诺登/B度量的近乎复与近乎接触流形上引入并分析典型型联络，其源自Levi-Civita联络与挠率约束。
• 应用适配于近乎接触B度量结构的Schouten-van Kampen仿射联络，分析其曲率与可积性。
• 通过Nijenhuis张量分析研究配备赫尔米特-诺登度量的近乎超复与近乎接触三重结构的可积性条件。
• 构建基度量在切丛上的提升，使切丛配备近乎超复赫尔米特-诺登结构。
• 通过结构常数与曲率分析，对4维实李代数上的超复结构与赫尔米特-诺登度量进行分类。

实验结果

研究问题

• RQ1 在配备诺登度量的近乎复流形上，典型型联络是什么？它们与Levi-Civita联络有何关系？
• RQ2 如何对配备B度量的近乎接触流形上的仿射联络进行分类？其存在性与唯一性的条件是什么？
• RQ3 Schouten-van Kampen联络在近乎接触B度量结构几何中起什么作用？
• RQ4 关联的Nijenhuis张量如何表征配备赫尔米特-诺登度量的近乎超复流形的可积性？
• RQ5 配备赫尔米特-诺登度量的四元数Kähler流形的曲率与结构性质是什么？

主要发现

• 本文构造并表征了配备诺登度量的近乎复流形上的典型型联络，证明了其存在性，并展示了其在诺登度量对称交换下的不变性。
• 本文对配备B度量的近乎接触流形上的仿射联络提供了完整分类，确定了此类联络被唯一确定的条件。
• Schouten-van Kampen联络被适配于近乎接触B度量结构，其曲率与挠率性质已得到分析。
• 对于配备赫尔米特-诺登度量的近乎超复流形，计算了关联的Nijenhuis张量，并证明在可积性条件下其值为零，从而表征了复结构。
• 本文对4维实李代数上的超复结构与赫尔米特-诺登度量进行了分类，识别出特定的代数模型与曲率不变量。
• 本文证明：配备赫尔米特-诺登度量的Sasaki型近乎接触复黎曼流形存在具有特定曲率对称性的典型联络。