[论文解读] On Gerber-Shiu functions and optimal dividend distribution for a Lévy risk-process in the presence of a penalty function

Florin Avram, Zbigniew Palmowski+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 22, 2011

Probability and Risk Models参考文献 48被引用 45

一句话总结

本文解决了具有破产时惩罚函数和固定交易成本的谱负 Lévy 风险过程的最优股利分配问题。它证明了值函数是哈密顿-雅可比-贝尔曼（HJB）方程的唯一随机解，并利用 Gerber–Shiu 函数，给出了单一切割带策略最优性的必要和充分条件，为保险风险理论中此类随机控制问题提供了完整的解析解。

ABSTRACT

This paper concerns an optimal dividend distribution problem for an insurance company which risk process evolves as a spectrally negative L\'{e}vy process (in the absence of dividend payments). The management of the company is assumed to control timing and size of dividend payments. The objective is to maximize the sum of the expected cumulative discounted dividend payments received until the moment of ruin and a penalty payment at the moment of ruin which is an increasing function of the size of the shortfall at ruin; in addition, there may be a fixed cost for taking out dividends. A complete solution is presented to the corresponding stochastic control problem. It is established that the value-function is the unique stochastic solution and the pointwise smallest stochastic supersolution of the associated HJB equation. Furthermore, a necessary and sufficient condition is identified for optimality of a single dividend-band strategy, in terms of a particular Gerber-Shiu function. A number of concrete examples are analyzed.

研究动机与目标

• 解决保险公司盈余遵循谱负 Lévy 过程的最优股利分配问题。
• 引入与亏损规模相关的破产时惩罚函数，反映破产的财务后果。
• 考虑与股利支付相关的固定成本，以建模现实世界的交易摩擦。
• 利用 Gerber–Shiu 函数作为关键分析工具，识别单一切割带策略最优的条件。
• 将值函数确立为关联的哈密顿-雅可比-贝尔曼（HJB）方程的唯一随机解以及逐点最小的随机上解。

提出的方法

• 将问题表述为在破产时吸收且对亏损施加惩罚函数的奇异随机控制问题。
• 推导出控制最优值函数的哈密顿-雅可比-贝尔曼（HJB）方程，其中涉及基于 Lévy 生成元的积分微分算子。
• 利用与谱负 Lévy 过程相关的尺度函数 $W^{(q)}$ 表达值函数并推导显式解。
• 引入 Gerber–Shiu 函数 $G(b^-, y)$ 作为关键分析工具，以表征切削带策略的最优性。
• 应用验证定理，证明值函数是 HJB 方程的最小随机上解。
• 使用拉普拉斯变换和富比尼定理分析控制策略的单调性和最优性条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，谱负 Lévy 风险过程在破产时具有惩罚函数的单一切割带策略是最优的？
• RQ2 固定交易成本的引入如何影响最优股利策略的结构？
• RQ3 Gerber–Shiu 函数在表征切削带策略最优性方面起什么作用？
• RQ4 值函数如何与尺度函数 $W^{(q)}$ 及 Lévy 过程特征相关联？
• RQ5 值函数能否被表征为 HJB 方程的唯一随机解以及最小的随机上解？

主要发现

• 值函数是关联的哈密顿-雅可比-贝尔曼方程的唯一随机解，且是逐点最小的随机上解。
• 单一切割带策略最优性的必要和充分条件以 Gerber–Shiu 函数 $G(b^-, y)$ 表达，具体为：对所有 $c > 0$，有 $G(b^-, b^+ + c) < G(b^-, b^+)$。
• 最优性条件等价于 Gerber–Shiu 函数 $G(b^-, y)$ 及其变换版本 $G^\#(y)$ 的终极单调性。
• 在无固定成本（$K=0$）的情况下，通过拉普拉斯变换推导出最优性条件，表明 $\mathcal{L}g(\theta) \cdot \frac{\theta}{\psi(\theta) - q} = \frac{e^{\theta b^+}}{\psi(\theta) - q} \int_{[b^+,\infty)} e^{-\theta z} Z^{(q,\theta)'}(z) G(dz)$，该表达式完全单调。
• 通过涉及 $f_\varepsilon(x,y)$ 在 $|x-y| \to 0$ 时极限的验证论证，结合强马氏性质和控制收敛定理，建立了值函数的连续性。
• 在有限变体情形下，估计式 $f_\varepsilon(x,y) \leq \text{sup}_{x\in[0,\delta]} V_w(x) - w(-\delta) \cdot E^y[e^{-q\tau_\delta^\pi} \mathbf{1}_{\{\tau_\delta^\pi < \tau_0^\pi\}}]$ 中的第二项在 $\delta \to 0$ 时趋于零，从而保证了值函数的连续性。