[论文解读] On Girsanov's transform for backward stochastic differential equations

Gechun Liang, Arnaud Lionnet+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 14, 2010

Stochastic processes and financial applications参考文献 14被引用 4

一句话总结

该论文通过在倒向随机微分方程（BSDEs）的框架下应用Girsanov定理，为具有二次增长非线性项的拟线性抛物型PDEs解建立了非线性Cameron-Martin公式。通过测度变换推导了解的随机表示，构造了局部随机流，并利用伊藤鞅表示定理和测度变换下密度过程的不变性，证明了Bismut型公式和梯度估计。

ABSTRACT

By using a simple observation that the density processes appearing in Ito's martingale representation theorem are invariant under the change of measures, we establish a non-linear version of the Cameron-Martin formula for solutions of a class of systems of quasi-linear parabolic equations with non-linear terms of quadratic growth. We also construct a local stochastic flow and establish a Bismut type formula for such system of quasi-linear PDEs. Gradient estimates are obtained in terms of the probability representation of the solution. Another interesting aspect indicated in the paper is the connection between the non-linear Cameron-Martin formula and a class of forward-backward stochastic differential equations(FBSDEs).

研究动机与目标

• 统一倒向SDEs、FBSDEs和非线性PDEs中的Girsanov测度变换技术。
• 将经典Cameron-Martin公式推广至非线性情形，涉及非线性项的二次增长。
• 为具有Lipschitz但无界漂移系数的拟线性抛物型PDEs解建立随机表示。
• 利用随机流和鞅表示，推导此类系统对应的Bismut型公式和梯度估计。
• 阐明非线性Cameron-Martin公式与具有非Lipschitz系数的前向-后向SDEs（FBSDEs）之间的联系。

提出的方法

• 利用测度变换下伊藤鞅表示定理中密度过程的不变性，推导非线性变换。
• 在BSDE框架下应用Girsanov定理，变换布朗运动，实现通过测度变换表示解。
• 通过由解$Y(\theta)_t$及其导数驱动的SDEs，构造局部随机流$X(\theta)_t$。
• 对$Y_t^i = u^i(x + B_t, T - t)$应用伊藤公式，推导出倒向SDE系统$dY_t^i = -h^i(Y_t, Z_t)dt + \sum_j Z_t^{i,j} dB_t^j$。
• 利用伊藤表示定理，从$Y_t$的鞅部分恢复$Z_t$，确保闭式可解性。
• 在有界适应过程的巴拿赫空间中应用不动点论证，证明变换后系统的解的存在性与唯一性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将Girsanov定理推广至涉及拟线性PDEs漂移项二次增长的非线性情形？
• RQ2 具有二次增长非线性项的拟线性抛物型PDEs解的随机表示是什么？
• RQ3 非线性Cameron-Martin公式与具有非Lipschitz系数的前向-后向SDEs（FBSDEs）有何关联？
• RQ4 能否通过随机流和测度变换，为非线性抛物系统推导出Bismut型公式？
• RQ5 通过概率表示和测度不变的密度过程，可获得此类系统的哪些梯度估计？

主要发现

• 为一类在非线性项中具有二次增长的拟线性抛物型PDEs，建立了非线性Cameron-Martin公式的版本。
• 解$u(x,t)$表示为$u(x,t) = \mathbb{E}^\mathbb{P}[\xi_t(\cdot,x)]$，其中$\xi_t$是通过测度变换导出的有界适应过程。
• 证明了Bismut型公式：$\nabla^j u(x,t) = \mathbb{E}^\mathbb{P}[\nabla^j \xi_t(\cdot,x)]$（$j=0,1,2$），将解的导数与条件期望联系起来。
• 基于概率表示获得梯度估计，其界依赖于$C_0$、$C_1$、$d$和时间$T$。
• 当$T$充分小时，在$\mathbf{H}_T$中存在唯一的不动点$\xi$，确保了解表示的存在性与唯一性。
• 随机流$X(\xi)_t$满足：对几乎必然所有$s \leq t \leq T$，有$u(x + \tilde{B}(\xi)_s, t-s) = Y(\xi)_s$ 且 $\nabla u(x + \tilde{B}(\xi)_s, t-s) = Z(\xi)_s$。