[论文解读] On global Hölder estimates for optimal transportation

Alexander V. Kolesnikov|arXiv (Cornell University)|Oct 28, 2008

Point processes and geometric inequalities参考文献 13被引用 4

一句话总结

本文在势函数满足温和的凸性和增长条件的前提下，建立了在对数凹概率测度之间的最优传输映射的全局 Hölder 连续性估计。证明了在对势函数 $ V $ 的二阶差商和 $ W $ 的强凸性模满足特定假设时，传输映射 $ T $ 具有全局 $ \frac{p+1}{q+1} $-Hölder 连续性，且常数与维度无关，将 Caffarelli 的利普希茨结果推广到了更广泛的 Hölder 范畴。

ABSTRACT

We generalize a well-known result of L. Caffarelli on Lipschitz estimates for optimal transportation $T$ between uniformly log-concave probability measures. Let $T : \R^d o \R^d$ be an optimal transportation pushing forward $μ= e^{-V}dx$ to $ν= e^{-W}dx$. Assume that 1) the second differential quotient of $V$ can be estimated from above by a power function, 2) modulus of convexity of $W$ can be estimated from below by $A_q |x|^{1+q}$, $q \ge 1$. Under these assumptions we show that $T$ is globally Hölder with a dimension-free coefficient. In addition, we study optimal transportation $T$ between $μ$ and the uniform measure on a bounded convex set $K \subset \R^d$. We get estimates for the Lipschitz constant of $T$ in terms of $d$, ${diam(K)}$ and $D V, D^2 V$.

研究动机与目标

• 将 Caffarelli 对最优传输映射的利普希茨估计推广到全局 Hölder 连续性框架。
• 在势函数满足增长和凸性条件的前提下，建立在一致对数凹测度之间最优传输映射的与维度无关的 Hölder 正则性。
• 基于最优传输映射的 Hölder 正则性，推导目标测度的集中不等式。
• 分析从对数凹测度到有界凸集上均匀测度的最优传输的利普希茨常数，考察其与维度和直径的关系。

提出的方法

• 引入对 $ V $ 的二阶差商的条件：$ V(x+y) + V(x-y) - 2V(x) \leq A_p |y|^{p+1} $，其中 $ 0 \leq p \leq 1 $。
• 对 $ W $ 的强凸性模施加下界：$ W(x+y) + W(x-y) - 2W(x) \geq A_q |y|^{q+1} $，其中 $ q \geq 1 $。
• 利用蒙日-安培方程 $ \rho_2(\nabla\varphi) \det D^2\varphi = \rho_1 $，将传输映射 $ T = \nabla\varphi $ 与密度 $ \mu = e^{-V}dx $、$ \nu = e^{-W}dx $ 联系起来。
• 应用完全非线性 PDE 理论中的先验估计，特别是蒙日-安培方程解的 Hölder 估计。
• 引入辅助函数 $ b(t) $ 和 $ \delta(t) $ 以量化 $ W $ 的凸性和增长性，并利用共轭凸函数 $ b^* $ 推导函数不等式。
• 使用 Talagrand 类型和修改后的对数 Sobolev 类型不等式，推导目标测度 $ \nu $ 的集中性质。

实验结果

研究问题

• RQ1 在什么条件下，最优传输映射 $ T $ 关于势函数 $ V $ 和 $ W $ 具有全局 Hölder 连续性？
• RQ2 当 $ V $ 满足其二阶差分的幂次上界，且 $ W $ 具有强凸性模的下界时，是否可以建立 $ T $ 的与维度无关的 Hölder 正则性？
• RQ3 Hölder 指数对势函数增长参数 $ p $ 和 $ q $ 的最优依赖关系是什么？
• RQ4 如何从 $ T $ 的 Hölder 估计导出目标测度 $ \nu = e^{-W}dx $ 的集中不等式？
• RQ5 从对数凹测度到有界凸集 $ K $ 上的均匀测度的最优传输的利普希茨常数是多少？其如何随 $ d $ 和 $ \text{diam}(K) $ 变化？

主要发现

• 在假设 $ V(x+y)+V(x-y)-2V(x) \leq A_p |y|^{p+1} $ 与 $ W(x+y)+W(x-y)-2W(x) \geq A_q |y|^{q+1} $ 成立，且 $ 0 \leq p \leq 1 \leq q $ 时，最优传输映射 $ T $ 具有全局 $ \frac{p+1}{q+1} $-Hölder 连续性，常数仅依赖于 $ p, q, A_p, A_q $。
• 对于满足 $ W(x+y)+W(x-y)-2W(x) \geq C_\beta |y|^{2\beta} $（$ \beta \geq 1 $）的测度 $ \nu = e^{-W}dx $，对所有 $ r > 0 $，有集中不等式 $ \nu(B_r) \geq 1 - e^{-C|r|^{2\beta}} $，其中常数 $ C $ 仅依赖于 $ \beta, C_\beta $。
• 从标准高斯测度到有界凸集 $ K \subset \mathbb{R}^d $ 上的均匀测度的最优传输是 $ C \sqrt{d} \cdot \text{diam}(K) $-利普希茨的，其中 $ C $ 为某绝对常数。
• 对于凸函数 $ W $，从高斯测度到 $ \nu = e^{-W}dx $ 的最优传输 $ T = \nabla\varphi $ 满足 $ |\nabla\varphi(x) - \nabla\varphi(y)| \leq 8 \delta^{-1}(4|x-y|^2) $，其中 $ \delta(t) = \inf_{\|y\| \geq t} \{ W(x+y) + W(x-y) - 2W(x) \} $。
• 测度 $ \nu $ 满足对所有 $ r > 0 $ 的集中不等式 $ \nu(B_r) \geq 1 - \frac{1}{2} \exp\left( -\frac{1}{8} \delta(r/8) \right) $，其中 $ B $ 为任意满足 $ \nu(B) \geq 1/2 $ 的集合。
• 对所有 $ r > 0 $，有集中界 $ \nu(A_r) \geq 1 - 2e^{-2\tilde{b}(r/2)} $，其中 $ \tilde{b} $ 是函数 $ b(t) = \inf_{\|y\| \geq t} \{ W(x+y) - W(x) - \langle \nabla W(x), y \rangle \} $ 的最大凸下界。