[论文解读] On Goodness-of-fit Testing for Ergodic Diffusion Process with Shift Parameter

Ilia Negri, Li Zhou|arXiv (Cornell University)|Mar 29, 2012

Stochastic processes and financial applications参考文献 12被引用 5

一句话总结

本文针对具有未知漂移位置参数的遍历扩散过程，提出了两种Cramér-von Mises类型拟合优度检验。通过使用局部时和经验分布函数估计器结合最大似然估计，证明了两种检验统计量均收敛至与参数无关的极限分布，从而确保在未知位置参数下仍具有渐近有效性。

ABSTRACT

A problem of goodness-of-fit test for ergodic diffusion processes is presented. In the null hypothesis the drift of the diffusion is supposed to be in a parametric form with unknown shift parameter. Two Cramer-Von Mises type test statistics are studied. The first one is based on local time estimator of the invariant density, the second one is based on the empirical distribution function. The unknown parameter is estimated via the maximum likelihood estimator. It is shown that both the limit distributions of the two test statistics do not depend on the unknown parameter, so the distributions of the tests are asymptotically parameter free. Some considerations on the consistency of the proposed tests and some simulation studies are also given.

研究动机与目标

• 为具有未知位置参数的参数漂移模型下的遍历扩散过程开发拟合优度检验。
• 确保检验统计量在未知参数存在的情况下仍具有渐近无参数性（APF）。
• 比较两种检验统计量：一种基于不变密度的局部时估计器，另一种基于经验分布函数。
• 在备择假设下建立检验的一致性。
• 通过Ornstein-Uhlenbeck过程设定下的模拟研究验证所提方法。

提出的方法

• 基于连续时间观测的遍历扩散过程，其动态由 dX_t = S(X_t)dt + dW_t 描述。
• 设定原假设 H0: S(x) = S*(x - θ)，其中未知位置参数 θ ∈ Θ。
• 采用最大似然估计（MLE）对未知位置参数 θ 进行估计。
• 构造两种检验统计量：δ_T 基于不变密度的局部时估计器，Δ_T 基于经验分布函数。
• 推导出两种检验统计量的弱收敛性，其极限分布不依赖于未知参数 θ。
• 通过理论推导与Ornstein-Uhlenbeck情形下的模拟，验证了渐近无参数性。

实验结果

研究问题

• RQ1 当漂移项包含未知位置参数时，遍历扩散过程的拟合优度检验是否仍能保持渐近无参数性？
• RQ2 基于局部时估计器与经验分布函数估计器的Cramér-von Mises型统计量，在原假设下是否仍保持无参数极限分布？
• RQ3 所提出的检验在真实漂移不属于位置平移参数族的一般备择假设下是否具有一致性？
• RQ4 在Ornstein-Uhlenbeck过程的具体情形下，检验统计量在原假设与备择假设下的行为如何？
• RQ5 检验统计量的有限样本性质与临界值是什么？如何进行模拟？

主要发现

• 两种检验统计量 δ_T 与 Δ_T 均弱收敛至与未知位置参数 θ 无关的极限分布，从而确保渐近无参数性。
• δ_T 的极限分布为 δ = ∫_{-∞}^{∞} ξ_1(x)^2 dx，其中 ξ_1(x) 是涉及标准布朗运动的高斯过程。
• Δ_T 的极限分布为 Δ = ∫_{-∞}^{∞} ξ_2(x)^2 dx，其中 ξ_2(x) 通过涉及密度与分布函数的随机积分定义。
• 检验具有一致性：在备择假设下，检验统计量以概率收敛于无穷大，从而在极限下功效为1。
• 模拟研究验证了理论结果，显示 δ 与 Δ 的经验分位数与不同显著性水平下的理论临界值一致。
• 在Ornstein-Uhlenbeck情形下，位置参数的MLE可显式计算，且两种检验统计量的极限过程均可以闭式表达。