[论文解读] On graded $I_{e}$-prime submodules of graded modules over graded commutative rings

Shatha Alghueiri, Khaldoun Al-Zoubi|arXiv (Cornell University)|Jan 23, 2021

Rings, Modules, and Algebras参考文献 12被引用 1

一句话总结

本文在分次交换环上的分次模背景下，将分次素子模的概念推广为分次 $I_e$-素子模。它建立了关键刻画结果，包括分次 $I_e$-素子模的等价条件，并证明在特定条件下其在局部化下保持封闭，从而在关注齐次分量与理想行为的前提下，扩展了分次模理论中的经典结果。

ABSTRACT

Let $G$ be a group with identity $e$. Let $R$ be a $G$-graded commutative ring with identity and $M$ a graded $R$-module. In this paper, we introduce the concept of graded $I_{e}$-prime submodule as a generalization of a graded prime submodule for $I=\oplus_{g\in G}I_{g}$ a fixed graded ideal of $R$. We give a number of results concerning of these classes of graded submodules and their homogeneous components. A proper graded submodule $N$ of $M$ is said to be a graded $I_{e}$-prime submodule of $M$ if whenever $% r_{g}\in h(R)$ and $m_{h}\in h(M)$ with $r_{g}m_{h}\in N-I_{e}N,$ then either $r_{g}\in (N:_{R}M)$ or $m_{h}\in N.$

研究动机与目标

• 通过固定一个分次理想 $I = \oplus_{g \in G} I_g$，推广分次素子模的概念，引入分次 $I_e$-素子模。
• 研究这些子模的结构性质，特别关注其齐次分量与理想 $I_e$ 的相互作用。
• 通过涉及零化子与包含于 $I_eN$ 的条件，建立分次 $I_e$-素子模的刻画。
• 研究分次 $I_e$-素子模在局部化下的行为，证明在适当条件下具有稳定性。
• 阐明分次 $I_e$-素子模与其他广义素子模（如 $M_g$ 的 $g$-Ie-素子模）之间的关系。

提出的方法

• 定义分次 $R$-模 $M$ 的真分次子模 $N$ 为分次 $I_e$-素子模，若对所有齐次元素 $r_h \in h(R)$ 和 $m_\lambda \in h(M)$，当 $r_h m_\lambda \in N - I_eN$ 时，有 $m_\lambda \in N$ 或 $r_h \in (N:R M)$。
• 通过等价条件刻画分次 $I_e$-素子模：若 $r_g K_h \subseteq N$ 且 $r_g K_h \not\subseteq I_e N$，则 $K_h \subseteq N$ 或 $r_g \in (N:R M)$。
• 利用局部化技术，考虑乘法闭子集 $S \subseteq h(R)$ 的分次环分式 $S^{-1}R$ 与分次模分式 $S^{-1}M$。
• 证明若 $N$ 是分次 $I_e$-素子模且 $(N:R M) \cap S = \emptyset$，则 $S^{-1}N$ 是 $S^{-1}M$ 的分次 $I_e$-素子模。
• 建立逆定理结果：若 $S^{-1}N$ 是分次 $I_e$-素子模且 $S \cap G\text{-}\mathrm{Zdv}_R(M/N) = \emptyset$，则 $N$ 是分次 $I_e$-素子模。
• 将理论应用于乘法模，证明在特定条件下，对 $m_1^g, m_2^g \in M_g$，若 $m_1^g m_2^g \in N_g - I_e N_g$，则 $m_1^g \in N_g$ 或 $m_2^g \in N_g$。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过固定分次理想 $I$ 来推广分次素子模的概念？
• RQ2 分次 $I_e$-素子模的精确刻画是什么？其涉及零化子与包含于 $I_eN$ 的条件如何？
• RQ3 在何种条件下，分次 $I_e$-素子模 $N$ 的局部化 $S^{-1}N$ 仍为分次 $I_e$-素子模？
• RQ4 分次 $I_e$-素子模的齐次分量 $N_g$ 与 $M_g$ 的 $g$-Ie-素子模有何关系？
• RQ5 分次 $I_e$-素子模与其他广义素子模（如 $g$-素或 $2$-吸收子模）之间存在何种关系？

主要发现

• 每个分次素子模都是分次 $I_e$-素子模，但反之不成立，反例为 $R = \mathbb{Z}$，$M = \mathbb{Z}_{12}$，$I = 4\mathbb{Z}$，$N = \langle 4 \rangle$。
• 真分次子模 $N$ 是分次 $I_e$-素子模，当且仅当对任意 $r_g \in h(R)$ 和 $h \in G$，若 $r_g K_h \subseteq N$ 且 $r_g K_h \not\subseteq I_e N$，则 $K_h \subseteq N$ 或 $r_g \in (N:R M)$，这提供了关键的结构性刻画。
• 若 $N$ 是 $M$ 的分次 $I_e$-素子模且 $(N:R M) \cap S = \emptyset$，则 $S^{-1}N$ 是 $S^{-1}M$ 的分次 $I_e$-素子模。
• 反之，若 $S^{-1}N$ 是分次 $I_e$-素子模且 $S \cap G\text{-}\mathrm{Zdv}_R(M/N) = \emptyset$，则 $N$ 是分次 $I_e$-素子模，建立了局部化等价性。
• 对于乘法 $Re$-模 $M_g$，若 $N_g$ 是 $g$-Ie-素子模且 $(I_e N_g : Re M_g) = I_e (N_g : Re M_g)$，则 $m_1^g m_2^g \in N_g - I_e N_g$ 蕴含 $m_1^g \in N_g$ 或 $m_2^g \in N_g$。
• 在积模中，两个分次 $I_e$-素子模的积仍为 $I_e$-素子模：若 $N_1$ 是 $M_1$ 中的分次 $I_e$-素子模，则 $N_1 \times M_2$ 是 $M_1 \times M_2$ 中的分次 $I_e$-素子模。