[论文解读] On Graphs of Isogenies of Principally Polarizable Abelian Surfaces and the Discrete Logarithm Problem.

Dimitar Jetchev, Benjamin Wesolowski|arXiv (Cornell University)|Jun 1, 2015

Coding theory and cryptography被引用 5

一句话总结

该论文构建了有限域上主极化普通阿贝尔曲面的同源图，并在广义黎曼猜想下证明了其快速混合。利用这些图和最近的基因2同源计算算法，该研究在极大自同态环的此类曲面子类中建立了离散对数问题的随机自归约性，同时消除了伽布里埃尔同源计算算法中的启发式假设，并将其推广至基因2情形。

ABSTRACT

We construct certain isogeny graphs of principally polarized ordinary abelian surfaces over finite fields and prove (under the Generalized Riemann Hypothesis) rapid mixing properties for these graphs. We use these graphs, together with a recent algorithm of Dudeanu, Jetchev and Robert for computing explicit isogenies in genus 2, to prove ran- dom self-reducibility of the discrete logarithm problem within the subclass of principally polarizable ordinary abelian surfaces with maximal endomorphism ring. In addition, we remove the heuristics in the complexity analysis of an algorithm of Galbraith for explicitly computing isogenies between two elliptic curves in the same isogeny class and generalize it in genus 2.

研究动机与目标

• 分析有限域上主极化普通阿贝尔曲面的同源图结构及其混合性质。
• 证明极大自同态环的主极化普通阿贝尔曲面子类中离散对数问题的随机自归约性。
• 在椭圆曲线同源计算算法的复杂度分析中，消除伽布里埃尔算法的启发式假设。
• 利用基因2领域最近的显式同源计算进展，将伽布里埃尔算法推广至基因2情形。
• 为阿贝尔曲面上基于同源的密码学提供安全性的基础。

提出的方法

• 基于有限域上的超特殊和普通主极化阿贝尔曲面构建同源图。
• 应用广义黎曼猜想，证明这些同源图上随机游走的快速混合。
• 整合杜德努、杰奇夫与罗伯特的基因2显式同源计算算法，以实现同源图的高效遍历。
• 利用混合性质与显式同源计算，证明离散对数问题的随机自归约性。
• 在不依赖启发式假设的前提下，重新分析伽布里埃尔的椭圆曲线同源算法，并将分析扩展至基因2情形。
• 利用极大自同态环条件，确保所考虑的阿贝尔曲面类具有结构刚性与密码学相关性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在广义黎曼猜想下，主极化普通阿贝尔曲面的同源图是否表现出快速混合？
• RQ2 能否证明此类阿贝尔曲面有理点群中离散对数问题的随机自归约性？
• RQ3 能否消除伽布里埃尔同源计算算法复杂度分析中的启发式假设，并代之以严格界？
• RQ4 伽布里埃尔的椭圆曲线算法在多大程度上可推广至基因2情形？
• RQ5 具有极大自同态环的阿贝尔曲面的何种结构特性支持基于同源的密码学安全性？

主要发现

• 在广义黎曼猜想下，有限域上主极化普通阿贝尔曲面的同源图表现出快速混合。
• 在极大自同态环的主极化普通阿贝尔曲面子类中，离散对数问题具有随机自归约性。
• 伽布里埃尔同源计算算法的复杂度分析现为严格分析，不再依赖启发式假设。
• 伽布里埃尔算法成功推广至基因2情形，实现了同一同源类中阿贝尔曲面之间显式同源计算。
• 快速混合与显式同源计算的结合，为基于同源的密码系统提供了更强的密码学保障。
• 极大自同态环条件确保了所考虑的阿贝尔曲面类在结构上受约束且具有密码学相关性。