[论文解读] On graphs with equal total domination and Grundy total domination number

Tanja Gologranc, Marko Jakovac+2 more|arXiv (Cornell University)|Jun 28, 2019

Advanced Graph Theory Research参考文献 9被引用 5

一句话总结

本文刻画了总支配数（$\gamma_t$）与Grundy总支配数（$\gamma_{gr}^t$）相等的二分图，证明了满足 $\gamma_t = \gamma_{gr}^t = 4$ 的此类图在二分图类中已被完全刻画；而满足 $\gamma_t = \gamma_{gr}^t = 6$ 的图存在当且仅当存在某些有限射影平面或正交拉丁方——揭示了图论中极值支配问题与经典组合设计之间的深刻联系。

ABSTRACT

A sequence $(v_1,\ldots ,v_k)$ of vertices in a graph $G$ without isolated vertices is called a total dominating sequence if every vertex $v_i$ in the sequence totally dominates at least one vertex that was not totally dominated by $\{v_1,\ldots , v_{i-1}\}$ and $\{v_1,\ldots ,v_k\}$ is a total dominating set of $G$. The length of a shortest such sequence is the total domination number of G ($γ_t(G)$), while the length of a longest such sequence is the Grundy total domination number of $G$ ($γ_{gr}^t(G)$). In this paper we study graphs with equal total and Grundy total domination number. We characterize bipartite graphs with both total and Grundy total domination number equal to 4, and show that there is no connected chordal graph $G$ with $γ_t(G)=γ_{gr}^t(G)=4$. The main result of the paper is a characterization of regular bipartite graphs with $γ_t(G)=γ_{gr}^t(G)=6$ proved by establishing a surprising correspondence between existence of such graphs and a classical but still open problem of the existence of certain finite projective planes.

研究动机与目标

• 刻画所有满足 $\gamma_t(G) = \gamma_{gr}^t(G) = 4$ 的连通二分图。
• 证明不存在满足 $\gamma_t(G) = \gamma_{gr}^t(G) = 4$ 的连通弦图。
• 对满足 $\gamma_t(G) = \gamma_{gr}^t(G) = 6$ 的正则二分图给出完整刻画。
• 揭示此类6-正则二分图的存在性与有限射影平面或正交拉丁方存在性之间的惊人等价关系。
• 探讨总支配数与Grundy总支配数在极值相等情形下的结构与组合含义。

提出的方法

• 利用有限射影平面导出的正交数组构造一类正则二分图。
• 通过顶点排序定义总支配序列，确保每个新加入的顶点支配此前未被支配的顶点。
• 使用超图对偶性与多重图表示来建模二分图中的支配序列。
• 通过验证所有顶点类型（$a_i$、$a_i'$、$b$、$b_j^i$）的度数相等，证明所构造图的正则性。
• 证明任意总支配集与Grundy序列必须恰好包含二分图每部分的三个顶点。
• 利用正交数组的性质，确保任意两个来自 $B$ 的顶点支配 $A$ 中除一个顶点外的所有顶点，反之亦然。

实验结果

研究问题

• RQ1 哪些二分图满足 $\gamma_t(G) = \gamma_{gr}^t(G) = 4$？
• RQ2 为何不存在满足 $\gamma_t(G) = \gamma_{gr}^t(G) = 4$ 的连通弦图？
• RQ3 满足 $\gamma_t(G) = \gamma_{gr}^t(G) = 6$ 的正则二分图的结构特征是什么？
• RQ4 此类图的存在性与有限射影平面或正交拉丁方有何关联？
• RQ5 所有满足 $\gamma_t(G) = \gamma_{gr}^t(G) = 6$ 的连通、无虚假同构对的图是否必为正则二分图？

主要发现

• 所有满足 $\gamma_t(G) = \gamma_{gr}^t(G) = 4$ 的连通二分图均已完全刻画，且此类图确实存在。
• 由于弦图的结构约束，不存在满足 $\gamma_t(G) = \gamma_{gr}^t(G) = 4$ 的连通弦图。
• 当且仅当存在阶为 $k-1$ 的有限射影平面时，满足 $\gamma_t(G) = \gamma_{gr}^t(G) = 6$ 的正则二分图才存在，其中 $k=3$。
• 此类图的构造依赖于从射影平面导出的正交数组，其正则度为 $n-k$，其中 $n$ 为顶点数。
• 当 $k=3$ 时，存在唯一一个（在同构意义下）14个顶点的此类图，对应于阶为2的唯一射影平面。
• 存在满足 $\gamma_t(G) = \gamma_{gr}^t(G) = 6$ 的图，当且仅当存在一个阶为 $k-1$ 的 $k-1$ 个两两正交的拉丁方的完美族。