[论文解读] On graphs with no induced subdivision of $K_4$

Benjamin Lévêque, Frédéric Maffray+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 8, 2013

Advanced Graph Theory Research参考文献 22被引用 33

一句话总结

本文提出了一个关于不含 $K_4$ 的诱导细分的图的分解定理，表明此类图要么是串联-并联图，要么是最大度为三的图的线图，要么具有特定的割集。此外，本文建立了排除 $K_4$ 细分和轮图的图的结构定理，证明它们是 3-可着色的，并且可以使用基于割集的分解和结构表征在多项式时间内识别。

ABSTRACT

We prove a decomposition theorem for graphs that do not contain a subdivision of $K_4$ as an induced subgraph where $K_4$ is the complete graph on four vertices. We obtain also a structure theorem for the class $\cal C$ of graphs that contain neither a subdivision of $K_4$ nor a wheel as an induced subgraph, where a wheel is a cycle on at least four vertices together with a vertex that has at least three neighbors on the cycle. Our structure theorem is used to prove that every graph in $\cal C$ is 3-colorable and entails a polynomial-time recognition algorithm for membership in $\cal C$. As an intermediate result, we prove a structure theorem for the graphs whose cycles are all chordless.

研究动机与目标

• 为不包含 $K_4$ 的诱导细分的图提供一个结构分解定理。
• 表征同时排除 $K_4$ 细分和轮图的图类，并证明其 3-可着色性。
• 为排除 $K_4$ 细分和轮图的图类开发一个多项式时间识别算法。
• 建立一个利用结构分解对这类图进行高效 3-着色的框架。

提出的方法

• 本文采用基于割集的递归分解方法：团割集、恰当 2-割集、星形割集和双星割集。
• 识别基本图类——串联-并联图、最大度为三的图的线图、完全二部图以及特定线图——作为构建模块。
• 证明过程基于最大子图的归纳法，分析其对基本结构（如 $K_{3,3}$、柱面图和八面体图）的附着关系。
• 应用耳分解和结构分析，证明 2-连通无弦图具有度数至多为 2 的顶点。
• 通过恰当 2-割集和团割集构建分解树，对叶子节点进行稀疏性和可着色性分析。
• 通过递归分解图并组合子图的着色结果，设计识别与着色算法。

实验结果

研究问题

• RQ1 不含 $K_4$ 的诱导细分的图的结构表征是什么？
• RQ2 能否在多项式时间内识别同时排除 $K_4$ 细分和轮图的图类？
• RQ3 所有排除 $K_4$ 细分和轮图的图是否都是 3-可着色的？
• RQ4 特定割集（如恰当 2-割集和星形割集）在分解不含 $K_4$ 细分的图中起什么作用？

主要发现

• 每个 ISK4-自由图要么是串联-并联图，要么是最大度为三的图的线图，要么具有团割集、恰当 2-割集、星形割集或双星割集。
• 同时排除 $K_4$ 细分和轮图的图类，恰好是既不含 $K_4$ 也不含轮图细分作为诱导子图的图类。
• 所有排除 $K_4$ 细分和轮图的图都是 3-可着色的，且 3-着色可在多项式时间内计算。
• 该类图的识别算法使用割集分解和叶子分析，时间复杂度为 $O(n^2m)$。
• 无弦图（即不含弦的环的图）是 3-可着色的，并且存在线性时间着色算法。
• 用于识别与着色过程的分解树大小为 $O(n)$，确保了高效的算法实现。