[论文解读] On Guarded Transformation In The Modal Mu-Calculus

Florian Bruse, Oliver Friedmann+1 more|arXiv (Cornell University)|May 3, 2013

Logic, programming, and type systems被引用 5

一句话总结

本文证明，已知的模态μ-演算的受控变换过程可能导致公式大小出现指数级膨胀，这与长期以来关于多项式时间开销的声称相矛盾。本文证明，若存在针对平坦μ-演算公式的多项式时间受控变换，则意味着可在多项式时间内解决公平游戏问题——这是逻辑与自动机理论中的一个重大开放问题。

ABSTRACT

Guarded normal form requires occurrences of fixpoint variables in a μ-calculus-formula to occur under the scope of a modal operator. The literature contains guarded transformations that effectively bring a μ-calculus-formula into guarded normal form. We show that the known guarded transformations can cause an exponential blowup in formula size, contrary to existing claims of polynomial behaviour. We also show that any polynomial guarded transformation for μ-calculus-formulas in the more relaxed vectorial form gives rise to a polynomial solution algorithm for parity games, the existence of which is an open problem. We also investigate transformations between the μ-calculus, vectorial form and hierarchical equation systems, which are an alternative syntax for alternating parity tree automata.

研究动机与目标

• 研究模态μ-演算中受控变换的复杂性，特别是现有算法中声称的多项式时间开销。
• 挑战广泛持有的信念，即受控正规形式变换仅导致公式大小的多项式增长。
• 探索多项式时间受控变换与公平游戏多项式时间可解性之间的联系。
• 阐明不同形式化系统之间的关系：平坦μ-演算、向量形式与层次方程系统（HES）。
• 强调在复杂性分析中混淆不同形式化系统（如向量形式与平坦μ-演算）的风险，因为其背后可能存在隐藏的指数级膨胀。

提出的方法

• 分析现有的受控变换过程，包括Banieqbal与Barringer、Walukiewicz、Kupferman等人以及Mateescu的方法。
• 指出Kupferman等人证明多项式膨胀的缺陷，表明展开子公式可能导致子公式数量出现指数级增长。
• 将受控变换过程重构为递归重写机制，该机制在重复代入下复制子公式。
• 研究Mateescu算法中公式共享的作用，表明其无法防止指数级膨胀，因为变量替换仍可使子公式重复次数超过二次方界限。
• 研究μ-演算、向量形式与层次方程系统（HES）之间的变换，强调大小权衡问题。
• 利用Bekić引理表明，向量形式与平坦μ-演算在表达能力上等价，但并非同样简洁，二者之间的转换可能带来指数级膨胀。

实验结果

研究问题

• RQ1 现有模态μ-演算受控变换算法是否真如普遍声称的那样仅导致多项式大小增长？
• RQ2 已知模态μ-演算受控变换过程在最坏情况下的实际大小膨胀程度是多少？
• RQ3 若存在针对平坦μ-演算公式的多项式时间受控变换，是否意味着公平游戏可在多项式时间内求解？
• RQ4 能否在不引起指数级膨胀的前提下，将向量形式μ-演算公式转换为平坦μ-演算公式？
• RQ5 在从非受控μ-演算公式转换为交替公平树自动机时，正确的复杂性度量是什么？

主要发现

• 已知的模态μ-演算受控变换过程可能导致公式大小出现指数级膨胀，与声称的多项式开销相矛盾。
• Kupferman等人证明受控变换具有线性膨胀的证明存在缺陷，因其未考虑嵌套展开子公式所导致的指数级增长。
• Mateescu的公式共享优化无法防止指数级膨胀，因为变量替换仍可使子公式重复次数超过二次方界限。
• 任何针对平坦μ-演算的多项式时间受控变换都将意味着公平游戏可在多项式时间内求解，而这是当前一个重大开放问题。
• 向量形式μ-演算与平坦μ-演算之间的变换，以及HES与μ-演算之间的变换，均可能引发指数级膨胀，挑战了关于简洁性的假设。
• 在从非受控μ-演算公式转换时，使用转移关系大小而非状态数作为自动机大小的度量至关重要，因为转移关系可能呈指数级增长。