[论文解读] On $H^{2|2}$ Isomorphism theorems and reinforced loop soup

Yinshan Chang, Dang-Zheng Liu+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 20, 2019

Mathematics and Applications参考文献 22被引用 6

一句话总结

本文通过一种新颖的贝叶斯公式，建立了超对称双曲 $H^{2|2}$ 场理论与经典高斯自由场之间的联系，证明了顶点增强跳跃过程（VRJP）的 $H^{2|2}$ 同构定理是经典 BFS–Dynkin 同构定理的退火版本。此外，本文还证明了一个关于增强环路集合的新 BFS–Dynkin 同构定理，并通过费曼-海克风格的推导方法重新建立了 VRJP 同构定理，从而通过超布朗运动与环路测度，统一了超对称与经典随机过程。

ABSTRACT

We show that supersymmetric (susy) hyperbolic isomorphism theorems that relate Vertex Reinforced Jump Processes and $H^{2|2}$ field, introduced in [2] and [3], are annealed version of isomorphism theorems relating Markov processes and Gaussian free field, with the help of a Bayes formula that relates susy hyperbolic field to susy free field. On the other hand, we also prove a BFS-Dynkin's isomorphism theorem for reinforced loop soup. Moreover, we provide yet another proof of BFS-Dynkin's isomorphism for VRJP a la Feynman-Kac.

研究动机与目标

• 阐明超对称 $H^{2|2}$ 同构定理与涉及高斯自由场的经典同构定理之间的关系。
• 建立一个贝叶斯公式，将 $H^{2|2}$ 双曲 sigma 场与经典高斯自由场联系起来。
• 证明关于增强环路集合的新的 BFS–Dynkin 同构定理，将经典环路集合同构推广至超对称框架。
• 提供一种替代的费曼-海克型推导方法，重新推导 VRJP 的 $H^{2|2}$ 同构定理，从而强化 VRJP 与高斯过程之间的联系。

提出的方法

• 推导出一个贝叶斯公式，将 $H^{2|2}$ 双曲场转化为等价于高斯自由场的形式，从而实现与经典同构定理的比较。
• 通过在环路集合构造中修改局部时测度，引入增强环路集合的概念，并引入一个增强参数 $k_i$。
• 在 $H^{2|2}$ 模型中使用双曲坐标系，将玻色子与费米子分量解耦，从而可应用维克公式计算相关性。
• 将费曼-海克公式应用于带吸收点和时间改变过程的 VRJP，通过格林函数与退出概率推导同构关系。
• 依赖于局部时过程的拉普拉斯变换，以及 Gibbs 测度 $\nu^{\widetilde{W}^{k+h},1}_{\delta}(du)$ 的显式形式，将 VRJP 的退出概率与 $H^{2|2}$ 场的相关性联系起来。
• 利用具有导纳 $W_{ij}e^{u_i + u_j}$ 的马尔可夫跳跃过程的生成元 $B^u$，将退出概率 $\mathbb{P}_{a,1}^{W,k,h}(Y_{T_\delta^-}=b, T_\delta < T_\iota)$ 表示为逆格林函数的积分。

实验结果

研究问题

• RQ1 VRJP 的 $H^{2|2}$ 同构定理是否为涉及高斯自由场的经典 BFS–Dynkin 同构定理的退火版本？
• RQ2 能否推导出一个贝叶斯公式，将 $H^{2|2}$ 双曲场与经典高斯自由场联系起来？
• RQ3 对于局部时被增强函数 $k_i$ 加权的增强环路集合，是否存在一个 BFS–Dynkin 同构定理？
• RQ4 能否通过费曼-海克方法重新推导 VRJP 的 $H^{2|2}$ 同构定理，而独立于原始的超对称场论构造？
• RQ5 引入两个吸收点（$\delta$ 和 $\iota$）如何影响退出概率及其与 $H^{2|2}$ 场的关系？

主要发现

• 建立了一个将 $H^{2|2}$ 双曲场与经典高斯自由场联系起来的贝叶斯公式，表明 $H^{2|2}$ 同构定理是经典同构定理的退火版本。
• 本文证明了关于增强环路集合的新 BFS–Dynkin 同构定理，其中局部时测度通过增强函数 $k_i$ 进行修改，从而将经典环路集合框架推广至超对称设置。
• 证明了退出概率 $\mathbb{P}_{a,1}^{W,k,h}(Y_{T_\delta^-}=b, T_\delta < T_\iota)$ 等于 $h \left<x_a x_b e^{-\left<k,z-1\right>}\right>_{\widetilde{W},\Phi_\delta=0}$，从而将 VRJP 与 $H^{2|2}$ 场联系起来。
• 费曼-海克风格的推导表明，相关性 $\left<x_a x_b e^{-\left<k,z-1\right>}\right>_{\widetilde{W},\Phi_\delta=0}$ 等于 VRJP 抵达时间分布的拉普拉斯变换。
• 在 $\nu^{\widetilde{W}^{k+h},1}_{\delta}$ 下，局部时过程 $\beta_i = \sum_{k} W_{ik} e^{u_k - u_i}$ 的边缘分布与在 $\nu^{\widetilde{W}^{k+h},1}_{\delta}$ 下的分布一致，验证了证明中变量替换的正确性。
• 证明了相关性 $\left<y_a y_b\right>_{\widetilde{W}^{k+h},\Phi_\delta=0}$ 等于 $\int (B^u|_{V\times V})^{-1}(a,b) e^{u_a + u_b} \nu^{\widetilde{W}^{k+h},1}_{\delta}(du)$，通过维克公式确认了同构关系。