[论文解读] On (h-m)-Convexity and Hadamard-Type Inequalities

M. Emіn Özdemіr, Ahmet Ocak Akdemi̇r+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 31, 2011

Mathematical Inequalities and Applications参考文献 11被引用 49

一句话总结

本文将 (h-m)-凸函数作为 m-凸函数与 h-凸函数的推广，统一并扩展了经典的凸性概念。通过使用加权积分界，建立了该类函数的新 Hadamard 型积分不等式，统一框架下推广了 s-凸、m-凸及 P-函数的已知结果。

ABSTRACT

In this paper, a new class of convex functions as a generalization of convexity which is called (h-m)-convex functions and some properties of this class is given. We also prove some Hadamard's type inequalities.

研究动机与目标

• 定义一类新的凸函数 (h-m)-凸函数，作为 m-凸与 h-凸函数的推广。
• 将 Hadamard 型积分不等式的理论扩展至该更广泛的函数类。
• 在单一框架下统一并推广 m-凸、s-凸、P-函数及 Godunova-Levin 函数的现有不等式。
• 通过加权积分与函数参数 h 和 m，为 (h-m)-凸函数的积分平均值提供紧致界。
• 将已知不等式（如 s-凸与 m-凸函数的不等式）作为所提框架的特例恢复并推广。

提出的方法

• 通过不等式 $ f(tx + m(1-t)y) \leq h(t)f(x) + mh(1-t)f(y) $ 定义 (h-m)-凸函数，其中 $ t \in [0,1] $，$ m \in (0,1] $，且 h 为非负函数。
• 通过对 $ t \in [0,1] $ 积分 (h-m)-凸性条件，利用变量代换建立 [a,b] 与 [ma,b] 上积分之间的关系。
• 通过积分变量替换与对称性，将 $ \int_0^1 f(ta + m(1-t)b) dt $ 表示为 $ \frac{1}{mb - a} \int_a^{mb} f(x) dx $。
• 结合 (h-m)-凸性条件的对称组合所导出的多个不等式，以界定 f 在 [a,b] 上的平均值。
• 利用函数 h 与参数 m 的性质，将已知不等式作为特例恢复（例如 h(t)=t，h(t)=t^s，h(t)=1）。
• 建立涉及 $ \int_0^1 h(t) dt $ 与 $ \int_0^1 h(1-t) dt $ 的界，该类界推广了经典 Hadamard 不等式。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将 m-凸性与 h-凸性的概念统一为一类单一的广义函数类？
• RQ2 针对该广义的 (h-m)-凸函数类，可推导出哪些新的积分不等式？
• RQ3 新不等式如何与现有 s-凸、m-凸、P-函数及 Godunova-Levin 函数的结果相关联并加以推广？
• RQ4 在参数 h 与 m 下，所导出界之紧致性与最优性特性为何？
• RQ5 经典 Hadamard 不等式能否作为新 (h-m)-凸框架下的特例被恢复？

主要发现

• 本文通过不等式 $ f(tx + m(1-t)y) \leq h(t)f(x) + mh(1-t)f(y) $ 定义了 (h-m)-凸函数，推广了 m-凸性与 h-凸性。
• 建立了新的 Hadamard 型不等式：$ \frac{1}{b-a} \int_a^b \left[ f(x) + m f\left(\frac{x}{m}\right) \right] dx \leq \frac{1}{2} \left[ f(a) + m f\left(\frac{b}{m}\right) + m f\left(\frac{a}{m}\right) + m^2 f\left(\frac{b}{m^2}\right) \right] $，并给出了在 h 与 m 下的等式成立条件。
• 当 $ h(t) = t $ 时，该不等式退化为凸函数的经典 Hadamard 不等式。
• 当 $ m=1 $ 且 $ h(t) = t^s $ 时，该不等式恢复了 s-凸函数的已知 Hadamard 型界：$ 2^{s-1} f\left(\frac{a+b}{2}\right) \leq \frac{1}{b-a} \int_a^b f(x) dx \leq \frac{f(a)+f(b)}{s+1} $。
• 当 $ h(t) = 1 $ 时，该不等式退化为 P-函数的已知界：$ f\left(\frac{a+b}{2}\right) \leq \frac{2}{b-a} \int_a^b f(x) dx \leq 2[f(a) + f(b)] $。
• 不等式 $ \frac{1}{m+1} \left[ \frac{1}{mb-a} \int_a^{mb} f(x) dx + \frac{1}{b-ma} \int_{ma}^b f(x) dx \right] \leq \left[ f(a) + f(b) \right] \left[ \int_0^1 h(t) dt + \int_0^1 h(1-t) dt \right] $ 推广了 m-凸函数的定理 3。